Escreva o vetor U=V1+V2+V3 como combinação linear dos vetores U1=2 V1+3 V2, U2=V2+V3 e U3=V2+2 V3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos escrever o vetor U = V1 + V2 + V3 como uma combinação linear dos vetores U1 = 2 V1 + 3 V2, U2 = V2 + V3 e U3 = V2 + 2 V3. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre combinações lineares e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Uma combinação linear dos vetores U1, U2 e U3 significa que podemos escrever U como:
U = a U1 + b U2 + c U3
onde a, b e c são escalares que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos substituir os valores de U1, U2 e U3 na equação:
U = a (2 V1 + 3 V2) + b (V2 + V3) + c (V2 + 2 V3)

Passo 4

Distribuindo os escalares, temos:
U = 2a V1 + (3a + b + c) V2 + (b + 2c) V3

Passo 5

Como U = V1 + V2 + V3, podemos igualar os coeficientes correspondentes dos vetores V1, V2 e V3:
2a = 1 3a + b + c = 1 b + 2c = 1

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações. Da primeira equação, temos:
a = 12

Passo 7

Substituindo a = 12 na segunda equação:
3(12) + b + c = 1 Rightarrow 32 + b + c = 1 Rightarrow b + c = -12

Passo 8

Agora, temos mais uma equação:
b + 2c = 1
E já sabemos que:
b + c = -12
Subtraindo as duas equações:
(b + 2c) - (b + c) = 1 - (-12) Rightarrow c = 32

Passo 9

Com c = 32, substituímos na equação b + c = -12:
b + 32 = -12 Rightarrow b = -2

Passo 10

Agora que temos os valores de a, b e c, podemos escrever a combinação linear:
U = 12 U1 - 2 U2 + 32 U3

Resposta

U = 12 U1 - 2 U2 + 32 U3

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