Obter o vetor v do espaço, sabendo que |v|=2, v forma um ângulo de 120^circ com o vetor k, forma ângulo de 60^circ com o vetor j e ângulo agudo com i.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor no espaço. Sabemos que a magnitude de é 2, e que ele forma um ângulo de com o vetor , com o vetor e um ângulo agudo com o vetor . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto escalar e a decomposição vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer vetor no espaço pode ser representado em termos das componentes , e . Ou seja, . Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 3

Sabemos que o produto escalar entre dois vetores a cdot b = |a|,|b|,cos(theta) e é dado por:
Onde é o ângulo entre eles. Vamos aplicar isso para os ângulos dados entre e os eixos coordenados.

Passo 4

Vamos começar com o vetor v cdot k = |v|,|k|,cos(120^circ) :
vz = 2 times 1 times (-0.5) = -1
Como e , e , temos:

Passo 5

Agora, para o vetor v cdot j = |v|,|j|,cos(60^circ) :
vy = 2 times 1 times 0.5 = 1
Sabendo que , temos:

Passo 6

Por fim, para o vetor v cdot i = |v|,|i|,cos(theta) Rightarrow vx = 2 times 1 times cos(theta) , como o ângulo é agudo, sabemos que |v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2 = 2 . Vamos chamar esse ângulo de raizvx^2 + 1^2 + (-1)^2 = raizvx^2 + 2 = 2 :
vx^2 + 2 = 4 Rightarrow vx^2 = 2 Rightarrow vx = raiz2
Como não foi dado o valor exato do ângulo com , vamos usar a condição de que deve ser 2. Sabemos que:
Substituindo e :
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Como o ângulo é agudo, é positivo.

Resposta

Portanto, o vetor v = raiz2, i + 1, j - 1, k é:

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