Escrever a equação da circunferência de centro C(-3 ; 5) cujo raio é 8 .

Passo 1

O enunciado pede: escrever a equação da circunferência cujo centro é C(-3;5) e cujo raio é 8.\n
Informações dadas:
\text{centro } C = (-3,\,5)
\text{raio } r = 8

Passo 2

Conceito-chave (explicado passo a passo): uma circunferência é o conjunto dos pontos (x,y) cuja distância ao centro (a,b) é igual ao raio r. A fórmula da distância entre dois pontos (x,y) e (a,b) no plano é
\sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2}.
Igualando essa distância ao raio r e elevando ambos os lados ao quadrado (para eliminar a raiz), obtemos a forma padrão da equação da circunferência:
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2.
Aqui: a é a coordenada x do centro, b é a coordenada y do centro, e r é o raio.

Passo 3

Identificar as variáveis pelo centro dado: a = -3 e b = 5. O raio é r = 8. Vamos substituir esses valores na fórmula padrão:
(x-(-3))^2 + (y-5)^2 = 8^2.

Passo 4

Simplificar os sinais e calcular r^2. Como x-(-3) = x+3 e 8^2 = 64, a equação fica
(x+3)^2 + (y-5)^2 = 64.
Essa é a forma canônica (centro-raio) da circunferência — a mais direta e geralmente a desejada.

Passo 5

Se quisermos a forma geral da equação (expandida), expandimos termo a termo:
(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9,
(y-5)^2 = y^2 - 10y + 25.
Somando:
x^2 + 6x + 9 + y^2 - 10y + 25 = 64.
Somando os termos constantes 9 + 25 = 34 e subtraindo 64 de ambos os lados:
x^2 + y^2 + 6x - 10y + 34 - 64 = 0,
x^2 + y^2 + 6x - 10y - 30 = 0.
Essa é a forma geral da mesma circunferência.

Passo 6

Cheque rápido (para ganhar confiança): um ponto que claramente está na circunferência é (5,5), porque a distância de (-3,5) até (5,5) é |5-(-3)|=8. Substituindo em (x+3)^2+(y-5)^2=64:
(5+3)^2 + (5-5)^2 = 8^2 + 0 = 64,
funciona — ponto na circunferência. Isso confirma que nossa equação está correta.

Resposta

(x+3)^2 + (y-5)^2 = 64
x^2 + y^2 + 6x - 10y - 30 = 0

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