Uma circunferência passa pelos pontos A(-3 ; 3) e B(1 ; 4) e se centro se encontra sobre a reta 3 x-2 y-23=0; Encontre sua equação.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a equação da circunferência:
  • A circunferência passa pelos pontos A(-3;3) e B(1;4).
  • O centro da circunferência está sobre a reta 3x-2y-23=0.
  • Pedido: encontrar a equação da circunferência (ou seja, a equação que satisfaz todos os pontos da circunferência).

Passo 2

Ideia-chave (sem resolver ainda): se o centro for o ponto C(h,k), então ele está à mesma distância de A e de B. Isso dá uma equação relacionando h e k. Também sabemos que C(h,k) satisfaz a equação da reta dada. Juntas, essas duas equações lineares em h e k nos permitem achar C.
Explicando a fórmula de distância (curtinha): a distância entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é
\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
Quando igualamos duas distâncias, costumamos elevar ao quadrado para eliminar a raiz e obter uma equação polinomial.

Passo 3

Escrevo a condição "distância de C(h,k) a A igual à distância de C(h,k) a B":
\sqrt{(h-(-3))^2+(k-3)^2}=\sqrt{(h-1)^2+(k-4)^2}.
Elevando ambos os lados ao quadrado (isso é válido porque ambas as distâncias são não-negativas), obtemos
(h+3)^2+(k-3)^2=(h-1)^2+(k-4)^2.

Passo 4

Agora eu desenvolvo essa igualdade passo a passo (explicando cada termo):
Desenvolvendo (h+3)^2 e (k-3)^2 e o lado direito,
(h+3)^2+(k-3)^2 = h^2+6h+9 + k^2-6k+9 = h^2+k^2+6h-6k+18,
(h-1)^2+(k-4)^2 = h^2-2h+1 + k^2-8k+16 = h^2+k^2-2h-8k+17.
Igualando os dois resultados e cancelando h^2+k^2,
6h-6k+18 = -2h-8k+17.

Passo 5

Agrupo termos para obter uma equação linear em h e k:
6h-6k+18 +2h+8k-17 = 0 \quad\Rightarrow\quad 8h+2k+1=0.
Portanto uma equação linear que C(h,k) deve satisfazer é
8h+2k+1=0.

Passo 6

A segunda condição é que C(h,k) esteja na reta dada. Substituo x=h e y=k em 3x-2y-23=0:
3h-2k-23=0.
Agora temos o sistema linear para h,k:
\begin{cases} 8h+2k+1=0,\\[4pt] 3h-2k-23=0. \end{cases}]

Passo 7

Somando as duas equações para eliminar k:
(8h+2k+1) + (3h-2k-23) = 0 + 0 \quad\Rightarrow\quad 11h -22 = 0.
Daí
h = 2.
Substituo h=2 em 3h-2k-23=0:
3\cdot 2 -2k -23 = 0 \quad\Rightarrow\quad 6 -2k -23 = 0 \quad\Rightarrow\quad -2k -17 = 0,
logo
k = -\frac{17}{2}.
Portanto o centro é
C\!\left(2,\,-\frac{17}{2}\right).

Passo 8

Agora preciso do raio. Uso a distância de C a A. Escrevo a fórmula do raio r ao quadrado (mais prático calcular r^2):
r^2 = (h - x_A)^2 + (k - y_A)^2.
Substituindo h=2, k=-\dfrac{17}{2} e A(-3,3),
r^2 = (2-(-3))^2 + \left(-\frac{17}{2}-3\right)^2.
Calculo cada termo: 2-(-3)=5 então 5^2=25. E
-\frac{17}{2}-3 = -\frac{17}{2} - \frac{6}{2} = -\frac{23}{2},
então \left(-\dfrac{23}{2}\right)^2 = \dfrac{529}{4}. Somando,
r^2 = 25 + \frac{529}{4} = \frac{100}{4} + \frac{529}{4} = \frac{629}{4}.
Logo r^2=\dfrac{629}{4} e r=\dfrac{\sqrt{629}}{2} (mas para a equação basta r^2).

Passo 9

Escrevo a equação padrão da circunferência com centro C e raio r:
(x-2)^2+\left(y+\frac{17}{2}\right)^2 = \frac{629}{4}.
Se quiser a forma expandida (forma geral), eu desenvolvo e simplifico. Primeiro desenvolvendo os quadrados:
(x-2)^2 = x^2-4x+4,
\left(y+\frac{17}{2}\right)^2 = y^2 +17y + \frac{289}{4}.
Somando e igualando a \dfrac{629}{4},
x^2-4x+4 + y^2+17y + \frac{289}{4} = \frac{629}{4}.
Passo para o mesmo denominador e movo tudo para um lado (faço as contas com calma):
4 = \frac{16}{4},\qquad \frac{16}{4} + \frac{289}{4} - \frac{629}{4} = \frac{305 -629}{4} = -\frac{324}{4} = -81.
Portanto a forma geral fica
x^2+y^2-4x+17y-81=0.

Resposta

x^2+y^2-4x+17y-81=0

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