Uma circunferência passa pelos pontos
e
e se centro se encontra sobre a reta
; Encontre sua equação.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a equação da circunferência:
- A circunferência passa pelos pontos
e . - O centro da circunferência está sobre a reta
. - Pedido: encontrar a equação da circunferência (ou seja, a equação que satisfaz todos os pontos da circunferência).
Passo 2
Ideia-chave (sem resolver ainda): se o centro for o ponto
, então ele está à mesma distância de
e de
. Isso dá uma equação relacionando
e
. Também sabemos que
satisfaz a equação da reta dada. Juntas, essas duas equações lineares em
e
nos permitem achar
.
Explicando a fórmula de distância (curtinha): a distância entre dois pontos
e
é
Quando igualamos duas distâncias, costumamos elevar ao quadrado para eliminar a raiz e obter uma equação polinomial.
Passo 3
Escrevo a condição "distância de
a
igual à distância de
a
":
Elevando ambos os lados ao quadrado (isso é válido porque ambas as distâncias são não-negativas), obtemos
Passo 4
Agora eu desenvolvo essa igualdade passo a passo (explicando cada termo):
Desenvolvendo e
e o lado direito,
Desenvolvendo
Igualando os dois resultados e cancelando
,
Passo 5
Agrupo termos para obter uma equação linear em
e
:
Portanto uma equação linear que
deve satisfazer é
Passo 6
A segunda condição é que
esteja na reta dada. Substituo
e
em
:
Agora temos o sistema linear para
:
Passo 7
Somando as duas equações para eliminar
:
Daí
Substituo
em
:
logo
Portanto o centro é
Passo 8
Agora preciso do raio. Uso a distância de
a
. Escrevo a fórmula do raio
ao quadrado (mais prático calcular
):
Substituindo
,
e
,
Calculo cada termo:
então
. E
então
. Somando,
Logo
e
(mas para a equação basta
).
Passo 9
Escrevo a equação padrão da circunferência com centro
e raio
:
Se quiser a forma expandida (forma geral), eu desenvolvo e simplifico. Primeiro desenvolvendo os quadrados:
Somando e igualando a
,
Passo para o mesmo denominador e movo tudo para um lado (faço as contas com calma):
Portanto a forma geral fica