Escrever a equação vetorial da reta que passa pelos pontos \mathbf{A}=(1,2,1) e \mathbf{B}=(5,0,-3) e verificar se os pontos C=(1,1,1) e D=(0,0,-1) pertencem à essa reta.

Passo 1

O enunciado pede a equação vetorial da reta que passa por \mathbf{A}=(1,2,1) e \mathbf{B}=(5,0,-3) em \mathbb{R}^3, e depois verificar se os pontos C=(1,1,1) e D=(0,0,-1) pertencem a essa reta. Vamos usar o vetor diretor \vec{u}=\overrightarrow{AB} e a forma paramétrica \mathbf{r}(t)=\mathbf{A}+t\vec{u}.

Passo 2

Calculamos o vetor diretor:
\vec{u}=\overrightarrow{AB} = \mathbf{B}-\mathbf{A} = (5-1,\;0-2,\;-3-1) = (4,-2,-4) = 2\,(2,-1,-2).
Podemos escolher \vec{u}=(2,-1,-2) para simplificar. Logo a reta é
\mathbf{r}(t) = (1,2,1) + t\,(2,-1,-2),
ou seja
\mathbf{r}(t) = \bigl(1+2t,\;2 - t,\;1-2t\bigr),\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 3

Para ver se C=(1,1,1)\) está na reta, igualamos \[(1+2t,\;2 - t,\;1-2t) = (1,1,1)
e obtemos o sistema
\begin{cases} 1 + 2t = 1,\\\\ 2 - t = 1,\\\\ 1 - 2t = 1. \end{cases}
Da primeira e da terceira equação vem t=0\], mas da segunda vem \(t=1. Como não há valor de t que satisfaça todas simultaneamente, concluímos que C não pertence à reta.

Passo 4

Para ver se D=(0,0,-1)\) está na reta, igualamos \[(1+2t,\;2 - t,\;1-2t) = (0,0,-1)
e obtemos
\begin{cases} 1 + 2t = 0,\\\\ 2 - t = 0,\\\\ 1 - 2t = -1. \end{cases}
Essas equações dão t=-\tfrac12\], \(t=2 e t=1, respectivamente, sem coincidirem. Logo D não pertence à reta.

Resposta

A equação vetorial da reta é
\mathbf{r}(t) = (1,2,1) + t\,(2,-1,-2).
O ponto C não pertence à reta.
O ponto D não pertence à reta.

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