- Escrever as permutações do Problema 1 como o produto de ciclos disjuntos.
Passo 1
O enunciado pede: escrever as permutações do “Problema 1” como o produto de ciclos disjuntos.
Informações fornecidas no enunciado desta pergunta: nenhuma permutação concreta foi incluída aqui — o texto só faz referência a “as permutações do Problema 1”, mas o Problema 1 não foi enviado junto.
O que falta para resolver a questão: as permutações explícitas (por exemplo em notação de duas linhas, em notação de uma linha, ou listadas como imagens). Sem essas informações não é possível obter as respostas numéricas/específicas pedidas.
Passo 2
Impossibilidade de prosseguir com cálculos específicos: sem saber quais são as permutações do Problema 1 não dá para convertê‑las em produto de ciclos disjuntos. Para transformar uma permutação em ciclos é preciso conhecer para cada elemento qual é a sua imagem pela permutação (ou ter a notação completa da permutação). Como isso não foi fornecido, não há como calcular resultados concretos nem apresentar a resposta final pedida.
Passo 3
Mesmo não tendo os dados do Problema 1, vou te ensinar passo a passo, de forma prática, como transformar qualquer permutação finita em produto de ciclos disjuntos — assim tu poderás aplicar o procedimento rápido na prova quando tiver a permutação à mão.
Definição breve e intuitiva:
- Uma permutação é uma bijeção de um conjunto finito
sobre si mesmo. Normalmente trabalhamos com . - Um ciclo
significa que a permutação envia em , em , …, em e em . - Ciclos são disjuntos quando não compartilham elementos; ciclos disjuntos comutam (a ordem entre eles não altera a permutação resultante).
Passo 4
Algoritmo prático (passo a passo) para obter ciclos disjuntos a partir de uma permutação dada:
- Escolhe o menor elemento de
que ainda não apareceu em nenhum ciclo já escrito; chama‑o de . - Escreve
e calcula sua imagem . Em seguida anota , depois , e assim por diante, até voltar a . Isso gera um ciclo . - Marca todos os elementos desse ciclo como “usados”.
- Se sobraram elementos não usados, repete a partir do passo 1 até que todos estejam em algum ciclo.
- Opcional: omite ciclos de comprimento
(pontos fixos) ou escreva‑os se quiser destacar que existem.
Dica rápida para a prova: trabalha com o menor elemento não usado para evitar confusão; procede sequencialmente e anota claramente as imagens.
Passo 5
Exemplo completo e explicado (para fixar o método). Suponha que te dão a permutação
em notação de duas linhas:
Passo a passo:
- Começa por
(menor elemento não usado). Pela segunda linha, . - Calcula
. Pela tabela, . - Calcula
. Pela tabela, . Como voltou a , fecha o ciclo: . - Marcam‑se
como usados. Próximo menor não usado é . -
e , fecha o ciclo: . - Sobra
: (ponto fixo). Pode omitir ou escrever .
Resultado em ciclos disjuntos (omitindo ponto fixo):
Verificação rápida: aplica cada ciclo a um elemento e confere se obtém a imagem correta; como os ciclos são disjuntos, a verificação é simples.]
Passo 6
Como ler diferentes notações que podem aparecer na prova:
- Notação de duas linhas: a primeira linha lista os elementos
e a segunda linha as imagens . É a mais direta para aplicar o algoritmo acima. - Notação de uma linha (one‑line): por exemplo
significa que , , …, . Usa‑se do mesmo jeito que a notação de duas linhas. - Notação já em ciclos: às vezes já vem em ciclos não disjuntos; para disjuntos, basta agrupar ou reescrever seguindo o algoritmo e eliminar sobreposições.
Passo 7
Erros comuns e como evitá‑los:
- Esquecer de marcar elementos já usados e acabar repetindo ciclos.
- Não voltar até o elemento inicial — sempre confirme que o próximo elemento seria o inicial para fechar o ciclo.
- Confundir a ordem dentro do ciclo: a ordem interna do ciclo importa (mapeamento direcionado), mas entre ciclos disjuntos a ordem não importa.
Passo 8
Motivação final e ânimo: sei que sem os dados do Problema 1 isso ficou incompleto — mas agora tens um roteiro claro, com um exemplo passo a passo. Na prova, aplica o algoritmo: escolhe o menor elemento não usado, segue as imagens até fechar ciclo, repete. Faz rápido e sem calculadora. Tu consegue!
Resposta
Não é possível resolver: o enunciado do Problema 1 (as permutações a serem convertidas) não foi fornecido.