1. Escrever as permutações do Problema 1 como o produto de ciclos disjuntos.

Passo 1

O enunciado pede: escrever as permutações do “Problema 1” como o produto de ciclos disjuntos.
Informações fornecidas no enunciado desta pergunta: nenhuma permutação concreta foi incluída aqui — o texto só faz referência a “as permutações do Problema 1”, mas o Problema 1 não foi enviado junto.
O que falta para resolver a questão: as permutações explícitas (por exemplo em notação de duas linhas, em notação de uma linha, ou listadas como imagens). Sem essas informações não é possível obter as respostas numéricas/específicas pedidas.

Passo 2

Impossibilidade de prosseguir com cálculos específicos: sem saber quais são as permutações do Problema 1 não dá para convertê‑las em produto de ciclos disjuntos. Para transformar uma permutação em ciclos é preciso conhecer para cada elemento qual é a sua imagem pela permutação (ou ter a notação completa da permutação). Como isso não foi fornecido, não há como calcular resultados concretos nem apresentar a resposta final pedida.

Passo 3

Mesmo não tendo os dados do Problema 1, vou te ensinar passo a passo, de forma prática, como transformar qualquer permutação finita em produto de ciclos disjuntos — assim tu poderás aplicar o procedimento rápido na prova quando tiver a permutação à mão.
Definição breve e intuitiva:
  • Uma permutação é uma bijeção de um conjunto finito S sobre si mesmo. Normalmente trabalhamos com S=\{1,2,\dots,n\}.
  • Um ciclo \big(a_1\\ a_2\\ \dots\\ a_k\big) significa que a permutação envia a_1 em a_2, a_2 em a_3, …, a_{k-1} em a_k e a_k em a_1.
  • Ciclos são disjuntos quando não compartilham elementos; ciclos disjuntos comutam (a ordem entre eles não altera a permutação resultante).

Passo 4

Algoritmo prático (passo a passo) para obter ciclos disjuntos a partir de uma permutação dada:
  1. Escolhe o menor elemento de S que ainda não apareceu em nenhum ciclo já escrito; chama‑o de a.
  2. Escreve a e calcula sua imagem \sigma(a). Em seguida anota \sigma(a), depois \sigma(\sigma(a)), e assim por diante, até voltar a a. Isso gera um ciclo \big(a\\ \sigma(a)\\ \sigma^2(a)\\ \dots\big).
  3. Marca todos os elementos desse ciclo como “usados”.
  4. Se sobraram elementos não usados, repete a partir do passo 1 até que todos estejam em algum ciclo.
  5. Opcional: omite ciclos de comprimento 1 (pontos fixos) ou escreva‑os se quiser destacar que existem.
Dica rápida para a prova: trabalha com o menor elemento não usado para evitar confusão; procede sequencialmente e anota claramente as imagens.

Passo 5

Exemplo completo e explicado (para fixar o método). Suponha que te dão a permutação \sigma em notação de duas linhas:
\sigma=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\[4pt] 3 & 6 & 4 & 1 & 5 & 2 \end{pmatrix}.
Passo a passo:
  • Começa por 1 (menor elemento não usado). Pela segunda linha, \sigma(1)=3.
  • Calcula \sigma(3). Pela tabela, \sigma(3)=4.
  • Calcula \sigma(4). Pela tabela, \sigma(4)=1. Como voltou a 1, fecha o ciclo: \big(1\\\ 3\\\ 4\big).
  • Marcam‑se \{1,3,4\} como usados. Próximo menor não usado é 2.
  • \sigma(2)=6 e \sigma(6)=2, fecha o ciclo: \big(2\\\ 6\big).
  • Sobra 5: \sigma(5)=5 (ponto fixo). Pode omitir ou escrever \big(5\big).
    Resultado em ciclos disjuntos (omitindo ponto fixo):
\sigma=(1\\\ 3\\\ 4)(2\\\ 6).
Verificação rápida: aplica cada ciclo a um elemento e confere se obtém a imagem correta; como os ciclos são disjuntos, a verificação é simples.]

Passo 6

Como ler diferentes notações que podem aparecer na prova:
  • Notação de duas linhas: a primeira linha lista os elementos 1,\dots,n e a segunda linha as imagens \sigma(1),\dots,\sigma(n). É a mais direta para aplicar o algoritmo acima.
  • Notação de uma linha (one‑line): por exemplo [3,6,4,1,5,2] significa que \sigma(1)=3, \sigma(2)=6, …, \sigma(6)=2. Usa‑se do mesmo jeito que a notação de duas linhas.
  • Notação já em ciclos: às vezes já vem em ciclos não disjuntos; para disjuntos, basta agrupar ou reescrever seguindo o algoritmo e eliminar sobreposições.

Passo 7

Erros comuns e como evitá‑los:
  • Esquecer de marcar elementos já usados e acabar repetindo ciclos.
  • Não voltar até o elemento inicial — sempre confirme que o próximo elemento seria o inicial para fechar o ciclo.
  • Confundir a ordem dentro do ciclo: a ordem interna do ciclo importa (mapeamento direcionado), mas entre ciclos disjuntos a ordem não importa.

Passo 8

Motivação final e ânimo: sei que sem os dados do Problema 1 isso ficou incompleto — mas agora tens um roteiro claro, com um exemplo passo a passo. Na prova, aplica o algoritmo: escolhe o menor elemento não usado, segue as imagens até fechar ciclo, repete. Faz rápido e sem calculadora. Tu consegue!

Resposta

Não é possível resolver: o enunciado do Problema 1 (as permutações a serem convertidas) não foi fornecido.

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