Encontrar as órbitas dos elementos 1,2,\dots,9 sob a ação de \pi.
Escrever a decomposição em ciclos da permutação \pi.]
Passo 2
Breve explicação do que vamos fazer (passo didático):
A órbita de um elemento x sob \pi é o conjunto de todas as imagens obtidas ao aplicar \pi repetidamente: \{x,\pi(x),\pi^2(x),\dots\}. Essa sequência é finita porque o conjunto é finito; quando um elemento volta a aparecer, a sequência fecha e formamos um ciclo.
Um ciclo é uma notação compacta que registra essa volta. Por exemplo, se 1\mapsto2\mapsto3\mapsto1, escrevemos o ciclo (1\,2\,3).
Método prático: para achar todos os ciclos, pegamos o menor elemento que ainda não apareceu em ciclos já formados, seguimos suas imagens até voltar ao início, anotamos o ciclo, e repetimos com o próximo elemento não usado.
Passo 3
Encontrando o ciclo que contém 1. Vamos aplicar \pi repetidas vezes e listar:
1\mapsto2,\quad \pi(1)=2.
Aplicando de novo:
2\mapsto3,\quad \pi(2)=3.
Continuando:
3\mapsto4,\quad \pi(3)=4,
4\mapsto5,\quad \pi(4)=5,
5\mapsto1,\quad \pi(5)=1.
Como voltamos a 1, a cadeia fecha. Portanto o ciclo é
(1\,2\,3\,4\,5).
Explicação: todos os elementos 1,2,3,4,5 formam um conjunto fechado pelas aplicações de \pi; esse é exatamente a órbita de 1.
Passo 4
Verificando o elemento 6. Pela definição dada:
6\mapsto6.
Como \pi(6)=6, 6 é um ponto fixo. Isso corresponde a um ciclo de comprimento 1, que podemos escrever como
(6).
Didaticamente: um ciclo de comprimento 1 significa que a órbita de 6 é o conjunto \{6\}.
Passo 5
Verificando o elemento 7. Pela definição:
7\mapsto7.
Logo 7 também é ponto fixo e forma o ciclo
(7).
A órbita de 7 é \{7\}.
Passo 6
Encontrando o ciclo que contém 8. Aplicando \pi:
8\mapsto9,\quad \pi(8)=9,
9\mapsto8,\quad \pi(9)=8.
Voltamos a 8, então temos o ciclo
(8\,9).
Isto é, 8 e 9 trocam de lugar sob \pi; a órbita de 8 (e de 9) é \{8,9\}.
Passo 7
Juntando tudo: os ciclos encontrados são disjuntos entre si (não compartilham elementos) e cobrem todo o conjunto \{1,\dots,9\}. Observações didáticas rápidas:
Ciclos disjuntos comutam, então a ordem em que escrevemos os ciclos não altera a permutação.
É comum omitir ciclos de comprimento 1 ao escrever a permutação; ainda assim é bom listá-los para identificar todas as órbitas.
Passo 8
Listando explicitamente as órbitas (cada órbita é o conjunto dos elementos de cada ciclo):