Uma esfera de cobre de raio 4 cm está carregada com uma carga total uniformemente distribuída de
, no espaço livre. (a) Use a lei de Gauss para achar
externo à esfera. (b) Calcule a energia total armazenada no campo eletrostático.
Passo 1
O enunciado dá uma esfera de cobre (condutor) de raio
carregada com carga total
, no espaço livre, e pede duas coisas:
- (a) Usar a lei de Gauss para achar
externo à esfera. - (b) Calcular a energia total armazenada no campo eletrostático.
Informações importantes dadas:
o meio é espaço livre (constante
), e a esfera é de cobre (condutor), o que implica que o campo elétrico no interior do condutor é nulo em equilíbrio eletrostático.
Passo 2
Recordando a forma integral da lei de Gauss para
:
onde
é a carga livre dentro da superfície fechada
.
Escolhemos
como uma superfície esférica de raio
centrada na esfera carregada, com
. Por simetria esférica o campo
será radial e de mesma magnitude em toda a superfície escolhida, ou seja
. O elemento de área é
e a integral sobre a esfera dá
.
Aplicando Gauss:
Para
a superfície envolve toda a carga
, então
. Assim
com direção radial para fora, isto é
Comentário sobre o interior: como a esfera é condutora, o campo elétrico
no interior é zero, logo
para
.
Passo 3
Explico por que usamos essa forma: em espaço livre
. A simetria esférica faz com que todas as linhas de
saiam radialmente e com densidade que depende só de
. A lei de Gauss aplicada a uma esfera centrada reduz a um problema de álgebra simples porque
é constante sobre a superfície esférica escolhida.
Passo 4
Agora vamos calcular a energia eletrostática total. A densidade de energia no campo elétrico, em meios lineares isotrópicos, é
Em espaço livre
, então também podemos usar
.
Para
temos
Calculamos
:
A energia total
é a integral da densidade sobre todo o volume do espaço. Como dentro do condutor (
) o campo é zero, a contribuição vem só de
até
. Usamos o elemento de volume esférico
:
Simplificando os fatores constantes:
A integral é simples:
Portanto
Observação alternativa rápida: como o potencial na superfície da esfera é
, a energia também pode ser obtida por
, que dá o mesmo resultado.
Passo 5
Agora substituímos os valores numéricos para
. Usamos
,
e
.
Escrevendo a fórmula:
Calculando:
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