Uma esfera condutora de diâmetro igual a 1,0 \mathrm{~m} está uniformemente carregada e possui uma densidade superficial de carga igual a 44,5 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2}.
Nesse caso, considerando-se \varepsilon_{0}=8,9 \times 10^{-12} \mathrm{C}^{2} \cdot \mathrm{~N}^{-1} \cdot \mathrm{~m}^{-2} e \pi=3, é correto afirmar que o fluxo elétrico total que sai da superfície da esfera é igual a
(A) 1,5 \times 10^{7} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{C}.
(B) 2,5 \times 10^{7} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{C}.
(C) 2,5 \times 10^{-7} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{C}.
(D) 1,3 \times 10^{-7} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{C}.
(E) 3,0 \times 10^{7} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados:
  • Diâmetro da esfera: 1{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Densidade superficial de carga: \sigma=44{,}5\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}.
  • Constante \varepsilon_{0}=8{,}9\times10^{-12}\\ \mathrm{C}^{2}\!\cdot\!\mathrm{N}^{-1}\!\cdot\!\mathrm{m}^{-2}.
  • Usar \pi=3.
O que o enunciado pede:
  • Determinar o fluxo elétrico total que sai da superfície da esfera (ou seja, o fluxo elétrico através da superfície esférica completa).

Passo 2

Princípio usado: Lei de Gauss (versão integral para carga total dentro de uma superfície fechada). A lei diz que o fluxo elétrico total \Phi através da superfície fechada é dado por
\Phi=\frac{Q}{\varepsilon_{0}},
onde:
  • \Phi é o fluxo elétrico total (unidade \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C});
  • Q é a carga elétrica total contida dentro da superfície (unidade \mathrm{C});
  • \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo (a dada no enunciado).
Aqui a esfera está uniformemente carregada na superfície, então a carga total Q é dada por
Q=\sigma A,
onde \sigma é a densidade superficial de carga e A é a área da superfície da esfera.

Passo 3

Calcular a área da superfície da esfera:
  • Raio da esfera: R=\dfrac{\text{diâmetro}}{2}=\dfrac{1{,}0}{2}=0{,}5\\ \mathrm{m}â.
  • Fórmula da área da superfície esférica:
A=4\pi R^{2}.
Substituindo \pi=3 e R=0{,}5\\ \mathrm{m}:
A=4\cdot 3\cdot(0{,}5)^{2}=12\cdot 0{,}25=3\\ \mathrm{m}^{2}.

Passo 4

Converter a densidade superficial para unidades SI e calcular a carga total:
  • \sigma=44{,}5\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}=44{,}5\times 10^{-6}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}.
  • Carga total:
Q=\sigma A=(44{,}5\times10^{-6})\cdot 3.
Fazendo a multiplicação:
Q=133{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{C}=1{,}335\times10^{-4}\\ \mathrm{C}.

Passo 5

Calcular o fluxo usando a Lei de Gauss:
\Phi=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}=\frac{1{,}335\times10^{-4}}{8{,}9\times10^{-12}}.
Separando a razão numérica e os expoentes:
\Phi=\left(\frac{1{,}335}{8{,}9}\right)\times 10^{-4-(-12)}=\left(\frac{1{,}335}{8{,}9}\right)\times10^{8}.
Como \dfrac{1{,}335}{8{,}9}=0{,}15, temos
\Phi=0{,}15\times10^{8}=1{,}5\times10^{7}\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}.

Passo 6

Comparando com as alternativas fornecidas, o valor obtido corresponde à alternativa (A).

Resposta

(A) 1{,}5\times10^{7}\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}

Exercícios relacionados