Em um experimento de física nuclear, um próton, de massa m=\mathrm{u} e carga q=+e, se move com uma energia cinética de 5 MeV , descrevendo uma trajetória circular em uma região de campo magnético uniforme.
Nesse caso, a energia cinética de uma partícula alfa ( m=4 u e q=+2 e ) para que ela percorra a mesma trajetória circular do próton deve ser igual
(A) a quatro vezes a energia cinética do próton.
(B) à energia cinética do próton.
(C) à metade da energia cinética do próton.
(D) ao dobro da energia cinética do próton.
(A) a um quarto da energia cinética do próton.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Dados fornecidos:
    • Próton:
      • massa: m_p = \mathrm{u} (uma unidade de massa atômica)
      • carga: q_p = +e
      • energia cinética: K_p = 5\\ \mathrm{MeV}
    • Partícula alfa:
      • massa: m_\alpha = 4\,\mathrm{u}
      • carga: q_\alpha = +2e
    • Ambas as partículas descrevem a mesma trajetória circular numa mesma região de campo magnético uniforme (mesmo B e mesmo raio r).
  • Pergunta do enunciado:
    • Qual deve ser a energia cinética da partícula alfa para que ela percorra a mesma trajetória circular do próton? (Escolher entre as opções dadas.)

Passo 2

Apresentar as fórmulas físicas relevantes e explicar cada símbolo.
  • Força magnética (para velocidade perpendicular ao campo): F_B = q v B,
onde q é a carga da partícula, v é a rapidez (velocidade escalar) perpendicular ao campo magnético e B é a intensidade do campo magnético. Essa força é sempre perpendicular à velocidade e ao campo e fornece a força centrípeta para o movimento circular.
  • Força centrípeta necessária para movimento circular: F_c = \frac{m v^2}{r},
onde m é a massa da partícula, v sua rapidez e r o raio da trajetória circular.
Como a força magnética é que mantém a partícula em órbita circular, igualamos as duas forças: q v B = \frac{m v^2}{r}.
Aqui todas as variáveis foram definidas: q (carga), v (rapidez), B (campo), m (massa), r (raio).

Passo 3

Resolver a igualdade entre forças para achar uma expressão que relacione massa, carga e velocidade (ou energia).
  • Da equação q v B = \frac{m v^2}{r},
podemos resolver para v (assumindo v\neq0): v = \frac{q B r}{m}.
  • A energia cinética é K = \frac{1}{2} m v^2.
Substituindo v obtido acima: K = \frac{1}{2} m \left(\frac{q B r}{m}\right)^2 = \frac{1}{2}\,\frac{q^2 B^2 r^2}{m}.
  • Observação importante: para um mesmo campo B e mesmo raio r (condições do enunciado), a quantidade B^2 r^2/2 é a mesma para todas as partículas. Portanto a dependência da energia cinética é: K \propto \frac{q^2}{m}.
Isto significa que, para duas partículas diferentes que se movem no mesmo raio em mesmo B, a razão entre suas energias cinéticas é igual à razão de q^2/m entre elas.

Passo 4

Aplicar a relação K \propto q^2/m ao caso próton vs partícula alfa e calcular a energia necessária.
  • A razão entre as energias é: \frac{K_\alpha}{K_p} = \frac{(q_\alpha)^2 / m_\alpha}{(q_p)^2 / m_p}.
Substituindo q_\alpha=2e, m_\alpha=4\mathrm{u}, q_p=e, m_p=\mathrm{u}: \frac{K_\alpha}{K_p} = \frac{(2e)^2 / (4\mathrm{u})}{e^2 / \mathrm{u}} = \frac{4e^2/(4\mathrm{u})}{e^2/\mathrm{u}} = \frac{e^2/\mathrm{u}}{e^2/\mathrm{u}} = 1.
  • Portanto K_\alpha = K_p.
Numericamente, como K_p=5\\ \mathrm{MeV}, temos K_\alpha=5\\ \mathrm{MeV}.
  • Interpretação física curta e amigável: a partícula alfa tem carga duas vezes maior (o que tende a aumentar a força magnética) mas massa quatro vezes maior (o que tende a reduzir a aceleração), e esses efeitos se combinam de modo que a energia cinética necessária para o mesmo raio fica igual à do próton.

Resposta

(B) 5\\ \mathrm{MeV}

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