Em um experimento de física nuclear, um próton, de massa
e carga
, se move com uma energia cinética de 5 MeV , descrevendo uma trajetória circular em uma região de campo magnético uniforme.
Nesse caso, a energia cinética de uma partícula alfa (
u e
) para que ela percorra a mesma trajetória circular do próton deve ser igual
(A) a quatro vezes a energia cinética do próton.
(B) à energia cinética do próton.
(C) à metade da energia cinética do próton.
(D) ao dobro da energia cinética do próton.
(A) a um quarto da energia cinética do próton.
(A) a quatro vezes a energia cinética do próton.
(B) à energia cinética do próton.
(C) à metade da energia cinética do próton.
(D) ao dobro da energia cinética do próton.
(A) a um quarto da energia cinética do próton.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
- Dados fornecidos:
- Próton:
- massa:
(uma unidade de massa atômica) - carga:
- energia cinética:
- massa:
- Partícula alfa:
- massa:
- carga:
- massa:
- Ambas as partículas descrevem a mesma trajetória circular numa mesma região de campo magnético uniforme (mesmo
e mesmo raio ).
- Próton:
- Pergunta do enunciado:
- Qual deve ser a energia cinética da partícula alfa para que ela percorra a mesma trajetória circular do próton? (Escolher entre as opções dadas.)
Passo 2
Apresentar as fórmulas físicas relevantes e explicar cada símbolo.
- Força magnética (para velocidade perpendicular ao campo):
onde
é a carga da partícula,
é a rapidez (velocidade escalar) perpendicular ao campo magnético e
é a intensidade do campo magnético. Essa força é sempre perpendicular à velocidade e ao campo e fornece a força centrípeta para o movimento circular.
- Força centrípeta necessária para movimento circular:
onde
é a massa da partícula,
sua rapidez e
o raio da trajetória circular.
Como a força magnética é que mantém a partícula em órbita circular, igualamos as duas forças:
Aqui todas as variáveis foram definidas:
(carga),
(rapidez),
(campo),
(massa),
(raio).
Passo 3
Resolver a igualdade entre forças para achar uma expressão que relacione massa, carga e velocidade (ou energia).
- Da equação
podemos resolver para
(assumindo
):
- A energia cinética é
Substituindo
obtido acima:
- Observação importante: para um mesmo campo
e mesmo raio (condições do enunciado), a quantidade é a mesma para todas as partículas. Portanto a dependência da energia cinética é:
Isto significa que, para duas partículas diferentes que se movem no mesmo raio em mesmo
, a razão entre suas energias cinéticas é igual à razão de
entre elas.
Passo 4
Aplicar a relação
ao caso próton vs partícula alfa e calcular a energia necessária.
- A razão entre as energias é:
Substituindo
,
,
,
:
- Portanto
Numericamente, como
, temos
.
- Interpretação física curta e amigável: a partícula alfa tem carga duas vezes maior (o que tende a aumentar a força magnética) mas massa quatro vezes maior (o que tende a reduzir a aceleração), e esses efeitos se combinam de modo que a energia cinética necessária para o mesmo raio fica igual à do próton.
Resposta
(B)