Uma esfera condutora de raio , no potencial , está cercada por uma casca esférica fina e concêntrica de raio , sobre a qual foi colocada uma carga superficial de densidade:
Onde é uma constante e é a coordenada esférica usual.
(a) Encontre o potencial em cada região: e .
(b) Encontre a densidade superficial de carga induzida no condutor.
(c) Qual a carga total do sistema?
(d) Verifique se a sua resposta é coerente com o comportamento de para grande.
(e) Calcule o campo elétrico em cada região: e
Passo 1
O enunciado trata de um problema de eletrostática em coordenadas esféricas com simetria axial (dependência em ) e envolve: . Uma esfera condutora de raio mantida a potencial constante . . Uma casca esférica concêntrica de raio com densidade superficial .
Para resolver usamos expansão em harmônicos esféricos (apenas termos e ), impondo:
Em cada região (interior ao condutor, entre e fora ) a equação de Laplace.
Continuidade de em .
Descontinuidade de em dada por
No condutor r<a, V=V0 e campo nulo.
Em rtoinfty, Vto0.
Passo 2
Escrevemos as soluções gerais em cada região (somente [l=0,1)):
– Para :
– Para :
com em .
No condutor interno , .
Impondo: . Equipotencial em para todo :
em :
. Discontinuidade de em (somente entra):
Calcula-se , .
Daí resulta
]
Passo 3
Observamos que a casca de rádio b tem carga total nula (integral de costheta sobre a esfera dá zero), logo não gera termo monopolar fora (D vem só da esfera condutora). Como uma esfera isolada a potencial V0 tem carga