Uma esfera condutora de raio a, no potencial V0, está cercada por uma casca esférica fina e concêntrica de raio b, sobre a qual foi colocada uma carga superficial de densidade:
sigma(theta)=k^2 cos theta
Onde k é uma constante e theta é a coordenada esférica usual.
(a) Encontre o potencial V(r, theta, phi) em cada região: r>b e a<r<b.
(b) Encontre a densidade superficial de carga induzida sigmai(theta) no condutor.
(c) Qual a carga total do sistema?
(d) Verifique se a sua resposta é coerente com o comportamento de V para r grande.
(e) Calcule o campo elétrico E(r, theta, phi) em cada região: r<a, r>b e a<r<b

Passo 1

O enunciado trata de um problema de eletrostática em coordenadas esféricas com simetria axial (dependência em costheta) e envolve:
1. Uma esfera condutora de raio a mantida a potencial constante V0.
2. Uma casca esférica concêntrica de raio b com densidade superficial sigma(theta)=k^2costheta.
Para resolver usamos expansão em harmônicos esféricos (apenas termos l=0 e l=1), impondo:
  • Em cada região (interior ao condutor, entre a<r<b e fora r>b) a equação de Laplace.
  • Continuidade de V em r=b.
  • Descontinuidade de partial V/partial r em r=b dada por
partial Vrm inpartial r|r=b- partial Vrm outpartial r|r=b =sigma(theta)varepsilon0
  • No condutor r<a, V=V0 e campo nulo.
  • Em rtoinfty, Vto0.

Passo 2

Escrevemos as soluções gerais em cada região (somente [l=0,1)):
– Para :
– Para :
com em .
No condutor interno , .
Impondo:
. Equipotencial em para todo :
em :
. Discontinuidade de em (somente entra):
Calcula-se
,
.
Daí resulta
]

Passo 3

Observamos que a casca de rádio b tem carga total nula (integral de costheta sobre a esfera dá zero), logo não gera termo monopolar fora ( D vem só da esfera condutora). Como uma esfera isolada a potencial V0 tem carga
Qrm cond =4pivarepsilon0a,V0 ;Longrightarrow; D=Qrm cond4pivarepsilon0=a,V0
Resolvendo as equações para l=1 obtemos
A1=k^23varepsilon0, B1=-,k^2,a^33varepsilon0, E=k^2(b^3-a^3)3varepsilon0
E para l=0, com D=aV0:
B0=a,V0, A0=0
Portanto:
(a) Potenciais em cada região:
– Para a<r<b:
V1(r,theta) =a,V0r +k^23varepsilon0 l(r-a^3r^2r)costheta
– Para r>b:
V2(r,theta) =a,V0r +k^2(b^3-a^3)3varepsilon0, costhetar^2
Dentro da esfera condutora ( r<a), V=V0.

Passo 4

(b) Densidade induzida na superfície r=a. Usamos
sigmai(theta) =varepsilon0l[En,rm out-En,rm inr] =-,varepsilon0partial V1partial r|r=a
pois En,rm in=0. Calculando
partial V1partial r|a =-a,V0a^2 +k^23varepsilon0 l(1+2r)costheta =-V0a+k^2varepsilon0costheta,
segue
sigmai(theta) =-varepsilon0l(-tfracV0a+tfrack^2varepsilon0costhetar) =varepsilon0,V0a ;-;k^2costheta

Passo 5

(c) Carga total do sistema = carga do condutor + carga da casca. A casca tem carga nula e o condutor tem
Qrm cond=4pi a^2,lang<=sigmairang<= =4pivarepsilon0a,V0
Logo
Qrm total=4pivarepsilon0a,V0

Passo 6

(d) Para , de temos
o que confirma comportamento monopolar decaindo como .

Passo 7

(e) Campo em cada região vec E=-nabla V. Em esféricas só componentes r,theta:
– Para r<a: vec E=0
– Para a<r<b:
Er =-partial V1partial r =a,V0r^2 -k^23varepsilon0 l(1+2a^3r^3r)costheta,
Etheta =-1rpartial V1partialtheta =k^23varepsilon0 l(1-a^3r^3r)sintheta,
,Ephi=0
– Para r>b:
Er =-partial V2partial r =a,V0r^2 +2,k^2(b^3-a^3)3varepsilon0, costhetar^3,
Etheta =-1rpartial V2partialtheta =k^2(b^3-a^3)3varepsilon0 sinthetar^3,
,Ephi=0

Resposta

(a)
(b) (\displaystyle \sigma_{i}(\theta)
=\varepsilon_{0},\frac{V_{0}}{a}-k^{2}\cos\theta.]
(c)
(d) Para , , coerente com monopolo.
(e) nos três regimes:
]

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