Uma esfera maciça homogênea de raio
produz uma aceleração gravitacional
na superfície. A que distância do centro da esfera existem pontos dentro da esfera nos quais a aceleração gravitacional é
?
Passo 1
O enunciado dá uma esfera maciça homogênea de raio
e informa que a aceleração gravitacional na superfície vale
. A pergunta é: a que distância do centro da esfera existem pontos dentro da esfera (ou seja, com
) nos quais a aceleração gravitacional vale
?\n\nInformações relevantes dadas:
Passo 2
Conceito físico que vamos usar (explicado didaticamente): para uma esfera homogênea se aplica o Teorema do Casco (ou teorema das cascas esféricas) de Newton: a gravidade no interior da esfera, a uma distância
do centro, é gerada apenas pela massa contida na esfera de raio
; as camadas esféricas externas (entre
e
) não contribuem para o campo gravitacional no ponto interno (suas forças se cancelam). Portanto podemos tratar a massa útil como a massa de uma esfera de raio
. Isso simplifica muito: a aceleração gravitacional interna tem a forma da de um ponto de massa
localizada no centro, com
onde
é a constante gravitacional e
é a massa dentro do raio
. Aqui explico cada símbolo:
é a aceleração gravitacional a distância
do centro;
é a constante universal;
é a massa contida até o raio
.
Passo 3
Como a esfera é homogênea, a densidade volumétrica
é constante e vale
onde
é a massa total da esfera. A massa contida na esfera de raio
é então
Aqui mostrei como achar
: o volume escala como
, e para densidade constante a massa interna escala com
também.
Passo 4
Substituindo
em
obtemos
Agora uso a informação sobre a aceleração na superfície: por definição,
Comparando as duas expressões, podemos escrever
em função de
:
Aqui expliquei cada passo: primeiro substituí
, simplifiquei os potências de
, e depois reconheci
como
.
Passo 5
Agora imponho a condição pedida: queremos
. Usando a relação anterior,
Como
, podemos dividir ambos os lados por
, obtendo
Portanto
Expliquei: cancelei
(não é zero), resolvi a equação linear em
e achei a posição relativa ao raio.
Passo 6
Interpretação física e checagem rápida: a aceleração interna cresce linearmente com
(porque a massa efetiva cresce como
enquanto a força gravitacional em
tem fator
, resultando em
). Na superfície
temos
; para ter um terço dessa aceleração precisamos de
. Como o resultado está com
, é um ponto dentro da esfera, como pedido. (Observação extra: fora da esfera existiría outro raio onde
, resolvendo
daria
, mas a pergunta pediu pontos dentro da esfera, então usamos
.)