Uma esfera maciça homogênea de raio R produz uma aceleração gravitacional a_{g} na superfície. A que distância do centro da esfera existem pontos dentro da esfera nos quais a aceleração gravitacional é a_{g} / 3 ?

Passo 1

O enunciado dá uma esfera maciça homogênea de raio R e informa que a aceleração gravitacional na superfície vale a_{g}. A pergunta é: a que distância do centro da esfera existem pontos dentro da esfera (ou seja, com r\le R) nos quais a aceleração gravitacional vale \dfrac{a_{g}}{3}?\n\nInformações relevantes dadas:
\text{esfera homogênea, raio } R,\qquad a_{g} \text{ é a aceleração na superfície (em } r=R\text{).}êéçãí

Passo 2

Conceito físico que vamos usar (explicado didaticamente): para uma esfera homogênea se aplica o Teorema do Casco (ou teorema das cascas esféricas) de Newton: a gravidade no interior da esfera, a uma distância r do centro, é gerada apenas pela massa contida na esfera de raio r; as camadas esféricas externas (entre r e R) não contribuem para o campo gravitacional no ponto interno (suas forças se cancelam). Portanto podemos tratar a massa útil como a massa de uma esfera de raio r. Isso simplifica muito: a aceleração gravitacional interna tem a forma da de um ponto de massa M_{r} localizada no centro, com
g(r)=\frac{G\,M_{r}}{r^{2}},
onde G é a constante gravitacional e M_{r} é a massa dentro do raio r. Aqui explico cada símbolo: g(r) é a aceleração gravitacional a distância r do centro; G é a constante universal; M_{r} é a massa contida até o raio r.

Passo 3

Como a esfera é homogênea, a densidade volumétrica \rho é constante e vale
\rho=\frac{M}{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}},
onde M é a massa total da esfera. A massa contida na esfera de raio r é então
M_{r}=\rho\cdot \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = M\cdot\frac{r^{3}}{R^{3}}.
Aqui mostrei como achar M_{r}: o volume escala como r^{3}, e para densidade constante a massa interna escala com r^{3} também.

Passo 4

Substituindo M_{r} em g(r)=\dfrac{G M_{r}}{r^{2}} obtemos
g(r)=\frac{G}{r^{2}}\left(M\cdot\frac{r^{3}}{R^{3}}\right)=\frac{G M r}{R^{3}}.
Agora uso a informação sobre a aceleração na superfície: por definição,
a_{g}=\frac{G M}{R^{2}}.
Comparando as duas expressões, podemos escrever g(r) em função de a_{g}:
g(r)=\left(\frac{G M}{R^{2}}\right)\frac{r}{R}=a_{g}\,\frac{r}{R}.
Aqui expliquei cada passo: primeiro substituí M_{r}, simplifiquei os potências de r, e depois reconheci G M / R^{2} como a_{g}.

Passo 5

Agora imponho a condição pedida: queremos g(r)=\dfrac{a_{g}}{3}. Usando a relação anterior,
a_{g}\,\frac{r}{R}=\frac{a_{g}}{3}.
Como a_{g}\neq 0, podemos dividir ambos os lados por a_{g}, obtendo
\frac{r}{R}=\frac{1}{3}.
Portanto
r=\frac{R}{3}.
Expliquei: cancelei a_{g} (não é zero), resolvi a equação linear em r e achei a posição relativa ao raio.

Passo 6

Interpretação física e checagem rápida: a aceleração interna cresce linearmente com r (porque a massa efetiva cresce como r^{3} enquanto a força gravitacional em r tem fator 1/r^{2}, resultando em g(r)\propto r). Na superfície r=R temos g(R)=a_{g}; para ter um terço dessa aceleração precisamos de r=R/3. Como o resultado está com r<R, é um ponto dentro da esfera, como pedido. (Observação extra: fora da esfera existiría outro raio onde g=\dfrac{a_g}{3}, resolvendo a_g(R^2/r^2)=a_g/3 daria r=R\sqrt{3}, mas a pergunta pediu pontos dentro da esfera, então usamos r=R/3.)

Resposta

\dfrac{R}{3}

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