Uma esfera de meio linear e raio R é colocada em um campo magnético constante \mathbf{B}=B_{0} \widehat{\mathbf{z}}. (a) [1,0 pontos] Calcule o campo magnético no interior da esfera. (b) [0,5 ponto] Calcule a magnetização da esfera. (c) [1,0 ponto] Calcule o campo magnético em pontos exteriores à esfera.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera de raio \,R, feita de um meio linear magnético homogêneo (permeabilidade \,\mu=\mu_0\mu_r,) colocada em um campo magnético externo uniforme
\mathbf{B}=B_0\widehat{\mathbf{z}}.
Não há correntes livres nem fontes dentro da região considerada (além do campo externo). As perguntas são:
  • (a) Calcular o campo magnético no interior da esfera.
  • (b) Calcular a magnetização da esfera.
  • (c) Calcular o campo magnético em pontos exteriores à esfera.
Informações relevantes listadas:
  • Raio da esfera: \,R.
  • Permeabilidade da esfera: \,\mu=\mu_0\mu_r (isto define a linearidade: \mathbf{B}=\mu\mathbf{H} dentro).
  • Meio exterior é vácuo com permeabilidade \,\mu_0.
  • Campo aplicado uniforme: \mathbf{B}_\text{ext}=B_0\widehat{\mathbf{z}}. O campo \mathbf{H}_0 associado ao externo é \, \mathbf{H}_0 = \dfrac{B_0}{\mu_0}\widehat{\mathbf{z}}.
  • Devemos usar condições de contorno magnéticas sem correntes livres: continuidade da componente tangencial de \mathbf{H} e continuidade da componente normal de \mathbf{B} na superfície da esfera.

Passo 2

Estratégia (explicação didática do método que vamos aplicar):
  • Em regiões sem correntes livres temos \nabla\times\mathbf{H}=0, ou seja existe um potencial escalar magnético \Phi tal que \mathbf{H}=-\nabla\Phi. Nesse caso \Phi satisfaz a equação de Laplace \nabla^2\Phi=0 (pois \nabla\cdot\mathbf{B}=0 e relação linear entre \mathbf{B} e \mathbf{H} implicam isso).
  • Como o problema tem simetria axial (campo externo ao longo de \hat z e esfera centrada na origem), procuramos soluções de Laplace que dependem só de r e \theta (coordenadas esféricas) e têm dependência angular \propto\cos\theta.
  • Escrevemos potenciais válidos dentro e fora da esfera, impondo que o potencial interno seja finito no centro e que o potencial externo tenda ao potencial do campo uniforme \mathbf{H}_0 no infinito. Depois aplicamos as condições de contorno na superfície r=R:
    • \mathbf{H}_\text{in}^{(\theta)}(R)=\mathbf{H}_\text{out}^{(\theta)}(R) (continuidade da componente tangencial de \mathbf{H});
    • \mathbf{B}_\text{in}^{(r)}(R)=\mathbf{B}_\text{out}^{(r)}(R) (continuidade da componente normal de \mathbf{B}).

Passo 3

Escrevendo os potenciais escalares com a dependência \cos\theta:
  • Potencial interno (regular em r=0), tomo a forma
\Phi_\text{in} = -C\,r\cos\theta,
onde C é constante a determinar. Explicação: a forma \propto r\cos\theta é solução de Laplace regular no centro e representa um campo uniforme interno.
  • Potencial externo (comportamento no infinito \to campo uniforme \mathbf{H}_0 mais possível termo dipolar)
\Phi_\text{out} = -H_0\,r\cos\theta + \frac{p\cos\theta}{r^2},
onde H_0=\dfrac{B_0}{\mu_0} é o campo \mathbf{H} associado ao campo aplicado, e p é constante a determinar. Explicação: o termo -H_0 r\cos\theta \mathbf{H}\to H_0\widehat{\mathbf{z}} quando r\to\infty; o termo em 1/r^2 é o potencial de um dipolo magnético.

Passo 4

Calcular \mathbf{H}=-\nabla\Phi dentro e fora:
  • Derivando \Phi_\text{in}:
    • \partial\Phi_\text{in}/\partial r = -C\cos\theta,
    • (1/r)\partial\Phi_\text{in}/\partial\theta = (1/r)(C r \sin\theta)=C\sin\theta.
      Assim, em componentes esféricas:
    H_{\text{in},r}=C\cos\theta,\qquad H_{\text{in},\theta}=-C\sin\theta.
    Observação: isto corresponde a um campo uniforme dentro, \mathbf{H}_\text{in}=C\widehat{\mathbf{z}}. Aqui C tem dimensão de campo \mathbf{H}.
  • Derivando \Phi_\text{out}:
    • \partial\Phi_\text{out}/\partial r = -H_0\cos\theta - 2p\cos\theta/r^3,
    • (1/r)\partial\Phi_\text{out}/\partial\theta = -H_0\sin\theta + p\sin\theta/r^3.
      Assim,
    H_{\text{out},r}=H_0\cos\theta + \frac{2p\cos\theta}{r^3},\qquad H_{\text{out},\theta}=-H_0\sin\theta + \frac{p\sin\theta}{r^3}.

Passo 5

Aplicar as condições de contorno na superfície r=R.
  1. Continuidade da componente tangencial de \mathbf{H}:
H_{\text{in},\theta}(R)=H_{\text{out},\theta}(R)
- C\sin\theta = -H_0\sin\theta + \frac{p\sin\theta}{R^3}.
Cancelando \sin\theta (válido para todos os \theta) obtemos
\frac{p}{R^3} = H_0 - C. \tag{1}
  1. Continuidade da componente normal de \mathbf{B}=\mu\mathbf{H}:
\mu\, H_{\text{in},r}(R) = \mu_0\, H_{\text{out},r}(R)
\mu \, C\cos\theta = \mu_0\Big(H_0\cos\theta + \frac{2p\cos\theta}{R^3}\Big).
Cancelando \cos\theta obtemos
\mu C = \mu_0 H_0 + 2\mu_0\frac{p}{R^3}. \tag{2}
Substituindo (1) em (2): \dfrac{p}{R^3}=H_0-C, então
\mu C = \mu_0 H_0 + 2\mu_0(H_0-C).
Desenvolvendo:
\mu C = \mu_0 H_0 + 2\mu_0 H_0 - 2\mu_0 C = 3\mu_0 H_0 - 2\mu_0 C.
Reagrupando termos em C:
C(\mu + 2\mu_0)=3\mu_0 H_0.
Logo
C = \frac{3\mu_0}{\mu + 2\mu_0}\,H_0.
Agora substituímos \mu=\mu_0\mu_r e H_0=\dfrac{B_0}{\mu_0}. Assim
C = \frac{3\mu_0}{\mu_0\mu_r + 2\mu_0}\,H_0 = \frac{3}{\mu_r+2}\,H_0.
Portanto o campo \mathbf{H} interno é uniforme e vale
\boxed{\mathbf{H}_\text{in}=\frac{3}{\mu_r+2}\,H_0\,\widehat{\mathbf{z}}.}
Recordando H_0=\dfrac{B_0}{\mu_0}, podemos usar isso adiante.
Também podemos obter p usando (1):
\frac{p}{R^3}=H_0-C=H_0\Big(1-\frac{3}{\mu_r+2}\Big) =H_0\frac{\mu_r-1}{\mu_r+2}.
Logo
p=R^3 H_0\frac{\mu_r-1}{\mu_r+2}.
Observação física: o termo em p corresponde a um dipolo magnético induzido.

Passo 6

Calcular o campo magnético \mathbf{B} no interior (resposta à letra (a)), detalhando cada passo e significado das variáveis:
  • Dentro da esfera vale \mathbf{B}_\text{in}=\mu\,\mathbf{H}_\text{in}.
  • Substituindo \mu=\mu_0\mu_r e \mathbf{H}_\text{in}=\dfrac{3}{\mu_r+2}H_0\widehat{\mathbf{z}} com H_0=B_0/\mu_0, obtemos
\mathbf{B}_\text{in}=\mu_0\mu_r\frac{3}{\mu_r+2}\frac{B_0}{\mu_0}\widehat{\mathbf{z}} = \frac{3\mu_r}{\mu_r+2}\,B_0\,\widehat{\mathbf{z}}.
Explicação: a esfera produz, por polarização magnética, um ajuste do campo aplicado; o resultado é um campo uniforme dentro.

Passo 7

Calcular a magnetização (letra (b)):
  • Em meios lineares homogêneos a magnetização é \mathbf{M}=\chi_m\mathbf{H}, onde \chi_m=\mu_r-1 é a susceptibilidade magnética.
  • Então
\mathbf{M}=(\mu_r-1)\mathbf{H}_\text{in} =(\mu_r-1)\frac{3}{\mu_r+2}\,H_0\,\widehat{\mathbf{z}}.
Substituindo H_0=B_0/\mu_0,
\boxed{\mathbf{M}=\frac{3(\mu_r-1)}{\mu_r+2}\,\frac{B_0}{\mu_0}\,\widehat{\mathbf{z}}.}
Comentário físico: \mathbf{M} é constante dentro da esfera (magnetização uniforme), alinhada com o campo aplicado.

Passo 8

Calcular o campo magnético fora da esfera (letra (c)):
  • O potencial externo foi \Phi_\text{out}=-H_0 r\cos\theta + \dfrac{p\cos\theta}{r^2}. O termo em p corresponde a um dipolo magnético com momento magnético \mathbf{m} relacionado por
\Phi_\text{dip}=\frac{\mathbf{m}\cdot\hat{\mathbf{r}}}{4\pi r^2}\quad\Rightarrow\quad p=\frac{m}{4\pi}.
  • Assim o momento magnético induzido é
\mathbf{m}=4\pi p\,\widehat{\mathbf{z}} =4\pi R^3 H_0 \frac{\mu_r-1}{\mu_r+2}\,\widehat{\mathbf{z}}.
Substituindo H_0=B_0/\mu_0,
\mathbf{m}=4\pi R^3\frac{\mu_r-1}{\mu_r+2}\frac{B_0}{\mu_0}\,\widehat{\mathbf{z}}.
  • O campo \mathbf{H} externo é soma do campo uniforme \mathbf{H}_0 e do campo dipolar de \mathbf{m}:
\mathbf{H}_\text{out}=\mathbf{H}_0+\frac{1}{4\pi}\frac{3(\mathbf{m}\cdot\hat{\mathbf{r}})\hat{\mathbf{r}}-\mathbf{m}}{r^3}.
Multiplicando por \mu_0 para obter \mathbf{B}_\text{out}=\mu_0\mathbf{H}_\text{out}, temos
\mathbf{B}_\text{out}=B_0\widehat{\mathbf{z}}+\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{3(\mathbf{m}\cdot\hat{\mathbf{r}})\hat{\mathbf{r}}-\mathbf{m}}{r^3}.
  • Inserindo \mathbf{m} e simplificando (observe que \dfrac{\mu_0}{4\pi}\mathbf{m} = R^3\frac{\mu_r-1}{\mu_r+2}B_0\,\widehat{\mathbf{z}}), obtemos a forma mais direta:
\boxed{\mathbf{B}_\text{out}(\mathbf{r}) = B_0\widehat{\mathbf{z}} + B_0\frac{\mu_r-1}{\mu_r+2}\,\frac{R^3}{r^3}\big(3\cos\theta\,\hat{\mathbf{r}}-\widehat{\mathbf{z}}\big),\quad (r>R).}
Aqui \theta é o ângulo entre \mathbf{r} e o eixo z ( \cos\theta=\widehat{\mathbf{r}}\cdot\widehat{\mathbf{z}}).
Interpretação: fora da esfera o campo é o campo uniforme aplicado mais o campo de um dipolo magnético (centro na esfera) cujo momento é proporcional à magnetização e ao volume da esfera.

Passo 9

Resumo rápido das fórmulas obtidas (para usar na prova):
  • Campo interno \mathbf{H}_\text{in} uniforme e dado por \dfrac{3}{\mu_r+2}H_0\widehat{\mathbf{z}}.
  • Indução interna \mathbf{B}_\text{in}=\dfrac{3\mu_r}{\mu_r+2}B_0\widehat{\mathbf{z}}.
  • Magnetização uniforme \mathbf{M}=\dfrac{3(\mu_r-1)}{\mu_r+2}\dfrac{B_0}{\mu_0}\widehat{\mathbf{z}}.
  • Campo externo = campo aplicado + termo dipolar com momento \mathbf{m}=4\pi R^3\frac{\mu_r-1}{\mu_r+2}\dfrac{B_0}{\mu_0}\widehat{\mathbf{z}}.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{B}_\text{in}=\frac{3\mu_r}{\mu_r+2}\,B_0\,\widehat{\mathbf{z}}.
(b) \displaystyle \mathbf{M}=\frac{3(\mu_r-1)}{\mu_r+2}\,\frac{B_0}{\mu_0}\,\widehat{\mathbf{z}}.
(c) \displaystyle \mathbf{B}_\text{out}(\mathbf{r})=B_0\widehat{\mathbf{z}}+B_0\frac{\mu_r-1}{\mu_r+2}\frac{R^3}{r^3}\big(3\cos\theta\,\hat{\mathbf{r}}-\widehat{\mathbf{z}}\big),\quad r>R.

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