Uma esfera de meio linear e raio R é colocada em um campo magnético constante \mathbf{B}=B_{0} \widehat{\mathbf{z}}. (a) [1,0 pontos] Calcule o campo magnético no interior da esfera. (b) [0,5 ponto] Calcule a magnetização da esfera. (c) [1,0 ponto] Calcule o campo magnético em pontos exteriores à esfera.
Passo 1
O enunciado dá uma esfera de raio \,R, feita de um meio linear magnético homogêneo (permeabilidade \,\mu=\mu_0\mu_r,) colocada em um campo magnético externo uniforme
\mathbf{B}=B_0\widehat{\mathbf{z}}.
Não há correntes livres nem fontes dentro da região considerada (além do campo externo). As perguntas são:
(a) Calcular o campo magnético no interior da esfera.
(b) Calcular a magnetização da esfera.
(c) Calcular o campo magnético em pontos exteriores à esfera.
Informações relevantes listadas:
Raio da esfera: \,R.
Permeabilidade da esfera: \,\mu=\mu_0\mu_r (isto define a linearidade: \mathbf{B}=\mu\mathbf{H} dentro).
Meio exterior é vácuo com permeabilidade \,\mu_0.
Campo aplicado uniforme: \mathbf{B}_\text{ext}=B_0\widehat{\mathbf{z}}. O campo \mathbf{H}_0 associado ao externo é \, \mathbf{H}_0 = \dfrac{B_0}{\mu_0}\widehat{\mathbf{z}}.
Devemos usar condições de contorno magnéticas sem correntes livres: continuidade da componente tangencial de \mathbf{H} e continuidade da componente normal de \mathbf{B} na superfície da esfera.
Passo 2
Estratégia (explicação didática do método que vamos aplicar):
Em regiões sem correntes livres temos \nabla\times\mathbf{H}=0, ou seja existe um potencial escalar magnético \Phi tal que \mathbf{H}=-\nabla\Phi. Nesse caso \Phi satisfaz a equação de Laplace \nabla^2\Phi=0 (pois \nabla\cdot\mathbf{B}=0 e relação linear entre \mathbf{B} e \mathbf{H} implicam isso).
Como o problema tem simetria axial (campo externo ao longo de \hat z e esfera centrada na origem), procuramos soluções de Laplace que dependem só de r e \theta (coordenadas esféricas) e têm dependência angular \propto\cos\theta.
Escrevemos potenciais válidos dentro e fora da esfera, impondo que o potencial interno seja finito no centro e que o potencial externo tenda ao potencial do campo uniforme \mathbf{H}_0 no infinito. Depois aplicamos as condições de contorno na superfície r=R:
\mathbf{H}_\text{in}^{(\theta)}(R)=\mathbf{H}_\text{out}^{(\theta)}(R) (continuidade da componente tangencial de \mathbf{H});
\mathbf{B}_\text{in}^{(r)}(R)=\mathbf{B}_\text{out}^{(r)}(R) (continuidade da componente normal de \mathbf{B}).
Passo 3
Escrevendo os potenciais escalares com a dependência \cos\theta:
Potencial interno (regular em r=0), tomo a forma
\Phi_\text{in} = -C\,r\cos\theta,
onde C é constante a determinar. Explicação: a forma \propto r\cos\theta é solução de Laplace regular no centro e representa um campo uniforme interno.
Potencial externo (comportamento no infinito \to campo uniforme \mathbf{H}_0 mais possível termo dipolar)
onde H_0=\dfrac{B_0}{\mu_0} é o campo \mathbf{H} associado ao campo aplicado, e p é constante a determinar. Explicação: o termo -H_0 r\cos\theta dá \mathbf{H}\to H_0\widehat{\mathbf{z}} quando r\to\infty; o termo em 1/r^2 é o potencial de um dipolo magnético.
Passo 4
Calcular \mathbf{H}=-\nabla\Phi dentro e fora:
Derivando \Phi_\text{in}:
\partial\Phi_\text{in}/\partial r = -C\cos\theta,
(1/r)\partial\Phi_\text{in}/\partial\theta = (1/r)(C r \sin\theta)=C\sin\theta.
Assim, em componentes esféricas:
Comentário físico: \mathbf{M} é constante dentro da esfera (magnetização uniforme), alinhada com o campo aplicado.
Passo 8
Calcular o campo magnético fora da esfera (letra (c)):
O potencial externo foi \Phi_\text{out}=-H_0 r\cos\theta + \dfrac{p\cos\theta}{r^2}. O termo em p corresponde a um dipolo magnético com momento magnético \mathbf{m} relacionado por
Inserindo \mathbf{m} e simplificando (observe que \dfrac{\mu_0}{4\pi}\mathbf{m} = R^3\frac{\mu_r-1}{\mu_r+2}B_0\,\widehat{\mathbf{z}}), obtemos a forma mais direta:
Aqui \theta é o ângulo entre \mathbf{r} e o eixo z (\cos\theta=\widehat{\mathbf{r}}\cdot\widehat{\mathbf{z}}).
Interpretação: fora da esfera o campo é o campo uniforme aplicado mais o campo de um dipolo magnético (centro na esfera) cujo momento é proporcional à magnetização e ao volume da esfera.
Passo 9
Resumo rápido das fórmulas obtidas (para usar na prova):
Campo interno \mathbf{H}_\text{in} uniforme e dado por \dfrac{3}{\mu_r+2}H_0\widehat{\mathbf{z}}.