Um campo potencial eletrostático, no vácuo, é dado por V=\frac{50}{r} volts para a região \leq \mathrm{r} \leq \mathrm{b}. Determine a densidade volumétrica de cargas e a energia armazenada nesta região.
Passo 1
O enunciado (assumindo que a escrita tinha um pequeno deslize) dá o potencial eletrostático, no vácuo, na forma
V(r)=\frac{50}{r}\quad\text{volts}
na região radial limitada por a\le r\le b. As perguntas são:
Determinar a densidade volumétrica de cargas \rho(r) nessa região.
Determinar a energia elétrica armazenada nessa região (energia entre as esferas de raio a e b).
Informações relevantes dadas: \;V(r)=50/r para a\le r\le b.
Região no vácuo (ou seja, constante \varepsilon_0 aparece nas fórmulas).
Queremos \rho(r) e a energia W contida no volume entre r=a e r=b.
Passo 2
Qual a relação entre potencial e densidade de carga? Vamos usar a equação de Poisson, que liga o potencial escalar V à densidade volumétrica de carga \rho:
\nabla^2 V = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}.
Aqui \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (constante), e \nabla^2 é o laplaciano. Essa é uma fórmula fundamental da eletrostática: se você conhece V, aplicando o laplaciano obtém a densidade de carga (com sinal e fator \varepsilon_0). Portanto, para encontrar \rho precisamos calcular \nabla^2 V.
Passo 3
Como o potencial depende apenas de r (simetria esférica), usamos o laplaciano em coordenadas esféricas para uma função radial V(r):
\nabla^2 V = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\!\left(r^2\frac{dV}{dr}\right).
0=\nabla^2 V = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}\quad\Rightarrow\quad \rho = 0.
Conclusão: a densidade volumétrica de carga dentro da região a\le r\le b é nula. Em palavras: não há carga distribuída no volume entre as esferas; o potencial dado é harmônico ali (solução de Laplace). Observação física útil: a forma V\propto 1/r é a mesma do potencial criado por uma carga pontual (ou por carga localizada na origem ou em uma superfície interna), então as cargas estarão concentradas nas superfícies limites (ou na origem), não no volume. Aqui, dentro do volume não há densidade volumétrica.
Passo 5
Agora queremos a energia armazenada nessa região. A densidade de energia eletrostática no vácuo é dada por
u=\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2,
onde E é o módulo do campo elétrico e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. A energia total no volume entre a e b é
W = 5000\pi\varepsilon_0\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right).
Passo 8
Interpretação física extra (rápida): o fato de \rho=0 no volume e do potencial ser 50/r indica que a carga responsável por esse potencial está localizada internamente (por exemplo, na região r<a ou na superfície r=a). O valor total da carga que produz V pode ser obtido comparando com o potencial de uma carga pontual: