Questão 4 - (a) [1,0 pontos] Escreva e explique cada uma das equações de Maxwell no vácuo na sua forma local. (b) [1,0 ponto] Aplique os teoremas de Stokes e do Divergente e transforme as equações de Maxwell para a forma integral. (c) [1,0 ponto] Encontre as condições de contorno para as componentes do campo magnético nas proximidades de uma distribuição superficial de corrente
.
Passo 1
O enunciado pede três coisas separadas:
- (a) Escrever e explicar cada uma das equações de Maxwell no vácuo na sua forma local (diferencial).
- (b) Aplicar os teoremas de Stokes e do Divergente para transformar essas equações para a forma integral.
- (c) Determinar as condições de contorno para as componentes do campo magnético nas proximidades de uma distribuição superficial de corrente
.
Informações e dados relevantes que o enunciado fornece ou pressupõe:
- Estamos no vácuo: os parâmetros físicos são
(permitividade do vácuo) e (permeabilidade do vácuo). - Existem densidade volumétrica de carga
e densidade de corrente volumétrica em geral (ambas podem ser zero em regiões específicas), e também pode haver uma corrente superficial localizada em uma superfície. - As incógnitas dos campos são o campo elétrico
e o campo magnético . - Não há figura adicional; tudo deve ser deduzido com as equações padrão.
Vou agora desenvolver passo a passo as respostas (a), (b) e (c), explicando os conceitos envolvidos com calma e dando derivações completas.
Passo 2
(a) Equações de Maxwell no vácuo — forma local (diferencial). Primeiro escrevo as quatro equações e em seguida explico cada símbolo e o significado físico e matemático.
As quatro equações são (forma diferencial):
Explicação detalhada de cada símbolo e operador:
-
é o campo elétrico em função da posição e do tempo . -
é o campo magnético (densidade de fluxo magnético). -
é a densidade de carga elétrica (carga por unidade de volume). -
é a densidade de corrente elétrica volumétrica (corrente por unidade de área perpendicular). -
é a permitividade do vácuo e é a permeabilidade do vácuo. -
(divergência) mede a “taxa líquida” de fluxo que sai de um ponto; formalmente, ou, em componentes, . -
(rotacional ou curl) mede a tendência de o campo “rodar” em torno de um ponto; formalmente, ou, em componentes, via determinante .
Interpretações físicas (de forma didática):
-
(Lei de Gauss para o campo elétrico): a divergência do campo elétrico em um ponto é proporcional à densidade de carga naquele ponto. Intuitivamente, cargas são fontes (ou sumidouros) de linhas de . -
(Lei de Gauss para o campo magnético): não existem monopólos magnéticos isolados; as linhas de são sempre fechadas, logo o fluxo líquido de por um volume é zero. -
(Lei de Faraday): um campo magnético variável no tempo cria um campo elétrico que “circula” — é a base da indução eletromagnética. O sinal negativo indica a direção dada pela lei de Lenz (a força eletromotriz induzida tende a se opor à mudança do fluxo magnético). -
(Lei de Ampère-Maxwell): correntes elétricas e campos elétricos variando no tempo (termo de deslocamento ) geram um campo magnético circulante. O termo de deslocamento é essencial (corrige a lei de Ampère original) para conservar carga e permitir ondas eletromagnéticas no vácuo.
Observação mecânica: sempre que eu usar
ou
pense como “fluxo por unidade de volume” e “circulação por unidade de área”, respectivamente — isso ajuda a memorizar e aplicar em provas.
Passo 3
(b) Transformação para a forma integral usando os teoremas de Gauss (do Divergente) e de Stokes.
Teorema do Divergente (Gauss): para qualquer campo vetorial suave
e volume
com fronteira
(orientada pela normal externa
),
Teorema de Stokes: para qualquer campo vetorial suave
e superfície
com fronteira
(orientadas segundo a regra da mão direita),
Agora aplico cada equação diferencial:
- Gauss para
: usando o Teorema do Divergente em ,
Interpretação: o fluxo do campo elétrico através da superfície fechada
é igual à carga total contida no volume dividido por
.
- Gauss para
: aplicar o mesmo teorema a ,
Interpretação: fluxo magnético total através de qualquer superfície fechada é zero (sem monopólos magnéticos).
- Faraday (curl
): aplicar Stokes a ,
Aqui usei que a derivada temporal pode ser tirada para fora da integral de superfície se a superfície for fixa (caso geral com superfície móvel exige cuidado). Interpretação: a circulação de
ao longo da borda de
é igual à taxa de variação negativa do fluxo magnético através de
— fórmula clássica da força eletromotriz induzida.
- Ampère-Maxwell (curl
): aplicar Stokes a ,
Interpretação: a circulação de
ao longo a borda de
é igual à corrente elétrica total que atravessa
(termo
) mais o termo de deslocamento
do fluxo elétrico através de
.
Comentários de orientação e sinais:
- Nas fórmulas de Stokes, a orientação da curva
e a orientação do vetor área obedecem à regra da mão direita: se o polegar aponta na direção de , os dedos indicam a orientação positiva de . - Nas formas integrais de Gauss,
é a área orientada pela normal externa da superfície fechada.
Passo 4
(c) Condições de contorno para
na presença de uma corrente superficial
.
Vou determinar duas condições: continuidade da componente normal de
e salto da componente tangencial devido à
. Para isso uso as formas integrais já derivadas e tomo volumes/contornos pequenos.
- Continuidade da componente normal de
.
Escolha um pequeno cilindro (“pílula”) que cruza a superfície onde existe a corrente superficial. Seja
esse volume com área da base
e altura
, com a superfície de corrente no plano médio; a normal unitária da superfície é
, apontando da região 1 para a região 2. Integro
no volume
e aplico o Teorema do Divergente:
As faces laterais do cilindro têm área proporcional a
, então ao tomar
a contribuição lateral tende a zero. Restam as duas bases (superior em região 2 e inferior em região 1):
Portanto
Interpretação: a componente normal de
é contínua através da superfície (não há salto). Ou seja, nenhum monopolo magnético aparece.
- Salto da componente tangencial de
devido à .
Para obter a condição sobre a componente tangencial, uso a forma integral da lei de Ampère-Maxwell. Considero um retângulo muito estreito (= altura
) atravessando a superfície: dois lados paralelos à superfície (cada um de comprimento
) e dois lados perpendiculares atravessando a superfície; a borda
é esse retângulo, e
é a superfície do retângulo. Tomando o limite
o retângulo fica infinitesimal na direção normal, de modo que as contribuições das laterais perpendiculares são desprezíveis. Denoto por
um vetor unitário tangencial à superfície na direção da aresta de comprimento
. Escolho a orientação de integração tal que o lado na região 2 contribua com
e o lado na região 1 contribua com
(soma das duas contribuições dá
). A corrente atravessando a área do retângulo é a corrente superficial multiplicada pela largura
, isto é
. O termo de deslocamento é proporcional à área do retângulo e, ao fazer
, torna-se desprezível frente ao termo de corrente superficial (assumindo
finito). Assim a forma integral de Ampère dá:
Como isso vale para qualquer direção tangencial
, concluímos que as componentes tangenciais satisfazem
Uma forma vetorial usual (equivalente, com orientação explícita através do produto vetorial com a normal) é obtida a partir da condição para
, que em termos de
é
Substituindo
no vácuo resulta
Esta é outra escrita padrão da condição de contorno para o salto tangencial do campo magnético na presença de uma corrente superficial
. Ambas as formas são equivalentes e úteis dependendo da situação (a primeira expõe diretamente o salto da componente tangencial; a segunda usa produto vetorial com a normal e é a forma comum nos livros).
Resumo das condições de contorno obtidas:
- Continuidade da componente normal:
- Salto da componente tangencial devido à corrente superficial:
ou equivalentemente
Resposta
(a)
,
,
,
.
(b)
,
,
,
(c)
e
(equivalente a
).