Questão 4 - (a) [1,0 pontos] Escreva e explique cada uma das equações de Maxwell no vácuo na sua forma local. (b) [1,0 ponto] Aplique os teoremas de Stokes e do Divergente e transforme as equações de Maxwell para a forma integral. (c) [1,0 ponto] Encontre as condições de contorno para as componentes do campo magnético nas proximidades de uma distribuição superficial de corrente \mathbf{K}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas separadas:
  1. (a) Escrever e explicar cada uma das equações de Maxwell no vácuo na sua forma local (diferencial).
  2. (b) Aplicar os teoremas de Stokes e do Divergente para transformar essas equações para a forma integral.
  3. (c) Determinar as condições de contorno para as componentes do campo magnético nas proximidades de uma distribuição superficial de corrente \mathbf{K}.
Informações e dados relevantes que o enunciado fornece ou pressupõe:
  • Estamos no vácuo: os parâmetros físicos são \varepsilon_0 (permitividade do vácuo) e \mu_0 (permeabilidade do vácuo).
  • Existem densidade volumétrica de carga \rho(\mathbf{r},t) e densidade de corrente volumétrica \mathbf{J}(\mathbf{r},t) em geral (ambas podem ser zero em regiões específicas), e também pode haver uma corrente superficial \mathbf{K} localizada em uma superfície.
  • As incógnitas dos campos são o campo elétrico \mathbf{E}(\mathbf{r},t) e o campo magnético \mathbf{B}(\mathbf{r},t).
  • Não há figura adicional; tudo deve ser deduzido com as equações padrão.
Vou agora desenvolver passo a passo as respostas (a), (b) e (c), explicando os conceitos envolvidos com calma e dando derivações completas.

Passo 2

(a) Equações de Maxwell no vácuo — forma local (diferencial). Primeiro escrevo as quatro equações e em seguida explico cada símbolo e o significado físico e matemático.
As quatro equações são (forma diferencial):
\nabla\cdot\mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}
\nabla\cdot\mathbf{B} = 0
\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}
\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}
Explicação detalhada de cada símbolo e operador:
  • \mathbf{E}(\mathbf{r},t) é o campo elétrico em função da posição \mathbf{r} e do tempo t.
  • \mathbf{B}(\mathbf{r},t) é o campo magnético (densidade de fluxo magnético).
  • \rho(\mathbf{r},t) é a densidade de carga elétrica (carga por unidade de volume).
  • \mathbf{J}(\mathbf{r},t) é a densidade de corrente elétrica volumétrica (corrente por unidade de área perpendicular).
  • \varepsilon_0 é a permitividade do vácuo e \mu_0 é a permeabilidade do vácuo.
  • \nabla\cdot (divergência) mede a “taxa líquida” de fluxo que sai de um ponto; formalmente, \nabla\cdot\mathbf{A}(\mathbf{r})=\lim_{V\to 0}\frac{1}{V}\oint_{\partial V}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{S},ou, em componentes, \nabla\cdot\mathbf{A}=\partial_x A_x+\partial_y A_y+\partial_z A_z.
  • \nabla\times (rotacional ou curl) mede a tendência de o campo “rodar” em torno de um ponto; formalmente, (\nabla\times\mathbf{A})\cdot\hat{\mathbf{n}}=\lim_{S\to 0}\frac{1}{S}\oint_{\partial S}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{l},ou, em componentes, via determinante \nabla\times\mathbf{A}=(\partial_y A_z-\partial_z A_y,\;\partial_z A_x-\partial_x A_z,\;\partial_x A_y-\partial_y A_x).
Interpretações físicas (de forma didática):
  • \nabla\cdot\mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0 (Lei de Gauss para o campo elétrico): a divergência do campo elétrico em um ponto é proporcional à densidade de carga naquele ponto. Intuitivamente, cargas são fontes (ou sumidouros) de linhas de \mathbf{E}.
  • \nabla\cdot\mathbf{B} = 0 (Lei de Gauss para o campo magnético): não existem monopólos magnéticos isolados; as linhas de \mathbf{B} são sempre fechadas, logo o fluxo líquido de \mathbf{B} por um volume é zero.
  • \nabla\times\mathbf{E} = -\partial\mathbf{B}/\partial t (Lei de Faraday): um campo magnético variável no tempo cria um campo elétrico que “circula” — é a base da indução eletromagnética. O sinal negativo indica a direção dada pela lei de Lenz (a força eletromotriz induzida tende a se opor à mudança do fluxo magnético).
  • \nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\varepsilon_0\partial\mathbf{E}/\partial t (Lei de Ampère-Maxwell): correntes elétricas \mathbf{J} e campos elétricos variando no tempo (termo de deslocamento \mu_0\varepsilon_0\partial\mathbf{E}/\partial t) geram um campo magnético circulante. O termo de deslocamento é essencial (corrige a lei de Ampère original) para conservar carga e permitir ondas eletromagnéticas no vácuo.
Observação mecânica: sempre que eu usar \nabla\cdot ou \nabla\times pense como “fluxo por unidade de volume” e “circulação por unidade de área”, respectivamente — isso ajuda a memorizar e aplicar em provas.

Passo 3

(b) Transformação para a forma integral usando os teoremas de Gauss (do Divergente) e de Stokes.
Teorema do Divergente (Gauss): para qualquer campo vetorial suave \mathbf{A} e volume V com fronteira \partial V (orientada pela normal externa \hat{\mathbf{n}}),
\int_V (\nabla\cdot\mathbf{A})\, dV = \oint_{\partial V}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{S}.
Teorema de Stokes: para qualquer campo vetorial suave \mathbf{A} e superfície S com fronteira \partial S (orientadas segundo a regra da mão direita),
\int_S (\nabla\times\mathbf{A})\cdot d\mathbf{S} = \oint_{\partial S}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{l}.
Agora aplico cada equação diferencial:
  1. Gauss para \mathbf{E}: usando o Teorema do Divergente em \nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\varepsilon_0,
\int_V \nabla\cdot\mathbf{E}\, dV = \int_V \frac{\rho}{\varepsilon_0}\, dV
\Rightarrow \oint_{\partial V}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S} = \frac{1}{\varepsilon_0}\int_V \rho\, dV.
Interpretação: o fluxo do campo elétrico através da superfície fechada \partial V é igual à carga total contida no volume dividido por \varepsilon_0.
  1. Gauss para \mathbf{B}: aplicar o mesmo teorema a \nabla\cdot\mathbf{B}=0,
\oint_{\partial V}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S} = 0.
Interpretação: fluxo magnético total através de qualquer superfície fechada é zero (sem monopólos magnéticos).
  1. Faraday (curl \mathbf{E}): aplicar Stokes a \nabla\times\mathbf{E} = -\partial\mathbf{B}/\partial t,
\int_S (\nabla\times\mathbf{E})\cdot d\mathbf{S} = -\int_S \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}
\Rightarrow \oint_{\partial S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = -\frac{d}{dt}\int_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}.
Aqui usei que a derivada temporal pode ser tirada para fora da integral de superfície se a superfície for fixa (caso geral com superfície móvel exige cuidado). Interpretação: a circulação de \mathbf{E} ao longo da borda de S é igual à taxa de variação negativa do fluxo magnético através de S — fórmula clássica da força eletromotriz induzida.
  1. Ampère-Maxwell (curl \mathbf{B}): aplicar Stokes a \nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\varepsilon_0\partial\mathbf{E}/\partial t,
\oint_{\partial S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = \mu_0\int_S \mathbf{J}\cdot d\mathbf{S} + \mu_0\varepsilon_0\frac{d}{dt}\int_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}.
Interpretação: a circulação de \mathbf{B} ao longo a borda de S é igual à corrente elétrica total que atravessa S (termo \mu_0\int_S\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S}) mais o termo de deslocamento \mu_0\varepsilon_0\, d/dt do fluxo elétrico através de S.
Comentários de orientação e sinais:
  • Nas fórmulas de Stokes, a orientação da curva \partial S e a orientação do vetor área d\mathbf{S} obedecem à regra da mão direita: se o polegar aponta na direção de d\mathbf{S}, os dedos indicam a orientação positiva de \partial S.
  • Nas formas integrais de Gauss, d\mathbf{S} é a área orientada pela normal externa da superfície fechada.

Passo 4

(c) Condições de contorno para \mathbf{B} na presença de uma corrente superficial \mathbf{K}.
Vou determinar duas condições: continuidade da componente normal de \mathbf{B} e salto da componente tangencial devido à \mathbf{K}. Para isso uso as formas integrais já derivadas e tomo volumes/contornos pequenos.
  1. Continuidade da componente normal de \mathbf{B}.
Escolha um pequeno cilindro (“pílula”) que cruza a superfície onde existe a corrente superficial. Seja V esse volume com área da base A e altura h, com a superfície de corrente no plano médio; a normal unitária da superfície é \hat{\mathbf{n}}, apontando da região 1 para a região 2. Integro \nabla\cdot\mathbf{B}=0 no volume V e aplico o Teorema do Divergente:
\int_V \nabla\cdot\mathbf{B}\, dV = \oint_{\partial V}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S} = 0.
As faces laterais do cilindro têm área proporcional a h, então ao tomar h\to 0 a contribuição lateral tende a zero. Restam as duas bases (superior em região 2 e inferior em região 1):
\mathbf{B}_2\cdot\hat{\mathbf{n}}\, A - \mathbf{B}_1\cdot\hat{\mathbf{n}}\, A = 0.
Portanto
\hat{\mathbf{n}}\cdot(\mathbf{B}_2 - \mathbf{B}_1) = 0.
Interpretação: a componente normal de \mathbf{B} é contínua através da superfície (não há salto). Ou seja, nenhum monopolo magnético aparece.
  1. Salto da componente tangencial de \mathbf{B} devido à \mathbf{K}.
Para obter a condição sobre a componente tangencial, uso a forma integral da lei de Ampère-Maxwell. Considero um retângulo muito estreito (= altura h) atravessando a superfície: dois lados paralelos à superfície (cada um de comprimento l) e dois lados perpendiculares atravessando a superfície; a borda \partial S é esse retângulo, e S é a superfície do retângulo. Tomando o limite h\to 0 o retângulo fica infinitesimal na direção normal, de modo que as contribuições das laterais perpendiculares são desprezíveis. Denoto por \mathbf{t} um vetor unitário tangencial à superfície na direção da aresta de comprimento l. Escolho a orientação de integração tal que o lado na região 2 contribua com \mathbf{B}_2\cdot\mathbf{t}\, l e o lado na região 1 contribua com -\mathbf{B}_1\cdot\mathbf{t}\, l (soma das duas contribuições dá (\mathbf{B}_2-\mathbf{B}_1)\cdot\mathbf{t}\, l). A corrente atravessando a área do retângulo é a corrente superficial multiplicada pela largura l, isto é I_{\text{enc}}=\mathbf{K}\cdot\mathbf{t}\, l. O termo de deslocamento é proporcional à área do retângulo e, ao fazer h\to 0, torna-se desprezível frente ao termo de corrente superficial (assumindo \mathbf{E} finito). Assim a forma integral de Ampère dá:
(\mathbf{B}_2 - \mathbf{B}_1)\cdot\mathbf{t}\, l = \mu_0 (\mathbf{K}\cdot\mathbf{t})\, l.
Como isso vale para qualquer direção tangencial \mathbf{t}, concluímos que as componentes tangenciais satisfazem
(\mathbf{B}_2 - \mathbf{B}_1)_{\text{tan}} = \mu_0 \mathbf{K}.
Uma forma vetorial usual (equivalente, com orientação explícita através do produto vetorial com a normal) é obtida a partir da condição para \mathbf{H}=\mathbf{B}/\mu_0, que em termos de \mathbf{H} é
\hat{\mathbf{n}}\times(\mathbf{H}_2 - \mathbf{H}_1) = \mathbf{K}.
Substituindo \mathbf{H}=\mathbf{B}/\mu_0 no vácuo resulta
\hat{\mathbf{n}}\times(\mathbf{B}_2 - \mathbf{B}_1) = \mu_0 \mathbf{K}.
Esta é outra escrita padrão da condição de contorno para o salto tangencial do campo magnético na presença de uma corrente superficial \mathbf{K}. Ambas as formas são equivalentes e úteis dependendo da situação (a primeira expõe diretamente o salto da componente tangencial; a segunda usa produto vetorial com a normal e é a forma comum nos livros).
Resumo das condições de contorno obtidas:
  • Continuidade da componente normal: \hat{\mathbf{n}}\cdot(\mathbf{B}_2 - \mathbf{B}_1) = 0.
  • Salto da componente tangencial devido à corrente superficial: (\mathbf{B}_2 - \mathbf{B}_1)_{\text{tan}} = \mu_0 \mathbf{K},ou equivalentemente \hat{\mathbf{n}}\times(\mathbf{B}_2 - \mathbf{B}_1) = \mu_0 \mathbf{K}.

Resposta

(a) \nabla\cdot\mathbf{E}=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}, \nabla\cdot\mathbf{B}=0, \nabla\times\mathbf{E}=-\dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}, \nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\varepsilon_0\dfrac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}.
(b) \displaystyle \oint_{\partial V}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}=\dfrac{1}{\varepsilon_0}\int_V \rho\, dV, \displaystyle \oint_{\partial V}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}=0, \displaystyle \oint_{\partial S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-\dfrac{d}{dt}\int_S\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}, \displaystyle \oint_{\partial S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_0\int_S\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S}+\mu_0\varepsilon_0\dfrac{d}{dt}\int_S\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}.
(c) \hat{\mathbf{n}}\cdot(\mathbf{B}_2-\mathbf{B}_1)=0 e (\mathbf{B}_2-\mathbf{B}_1)_{\text{tan}}=\mu_0\mathbf{K} (equivalente a \hat{\mathbf{n}}\times(\mathbf{B}_2-\mathbf{B}_1)=\mu_0\mathbf{K}).

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