3 - Uma esfera metálica maciça é aquecida de 30^{\circ} \mathrm{C} até 110^{\circ} \mathrm{C}, quando seu voluma sofre um aumento correspondente a 1.2 \%. Determine o valor do coeficiente de dilatação linear médio desse metal.

Passo 1

O enunciado fala de uma esfera metálica que vai de 30^\circ\mathrm{C} a 110^\circ\mathrm{C}, sofrendo aumento volumétrico de 1{,}2\%. O conteúdo envolvido é dilatação térmica: sabemos que o coeficiente de dilatação volumétrica médio \beta e o coeficiente de dilatação linear médio \alpha estão relacionados por
\beta = 3\,\alpha
e que o aumento relativo de volume é
\frac{\Delta V}{V_0} = \beta\,\Delta T.

Passo 2

Calcular a variação de temperatura \Delta T:
\Delta T = 110^\circ\mathrm{C} - 30^\circ\mathrm{C} = 80\;\mathrm{C}.

Passo 3

Expressar o aumento volumétrico relativo em termos de \alpha:
\frac{\Delta V}{V_0} = 1{,}2\% = 0{,}012 \qquad\text{e}\qquad \frac{\Delta V}{V_0} = \beta\,\Delta T = 3\,\alpha\,\Delta T.
Logo,
0{,}012 = 3\,\alpha \times 80.

Passo 4

Isolar \alpha:
\alpha = \frac{0{,}012}{3 \times 80} = \frac{0{,}012}{240} = 5{,}0\times 10^{-5}\;\mathrm{C}^{-1}.

Resposta

O coeficiente de dilatação linear médio é
\alpha = 5{,}0\times 10^{-5}\;^\circ\mathrm{C}^{-1}.

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