Uma esfera não condutora de raio R tem uma densidade de carga que varia de acordo com a equação rho=a r, onde a é uma constante positiva e r é a distância de um ponto qualquer dentro da esfera até o centro. Calcule, em função de a, r e varepsilon0, o valor do campo elétrico no interior da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera não condutora com raio $ R $ onde a densidade de carga varia conforme a equação $ \rho = a r $. A gente precisa descobrir o campo elétrico dentro dessa esfera em função de $ a $, $ r $ e $ \varepsilon_{0} $. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil pra calcular campos elétricos em situações de simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada (uma “superfície gaussiana”) é igual à carga total dentro dessa superfície dividida por $ \varepsilon_{0} $. Ou seja:
varepsilon0
Como a esfera tem simetria esférica e a densidade de carga depende apenas de $ r $, vamos escolher uma superfície gaussiana também esférica de raio $ r $ (onde $ r \leq R $).

Passo 3

Agora, precisamos calcular a carga total dentro dessa superfície esférica de raio $ r $. A densidade de carga é $ \rho = a r $, então a carga infinitesimal em um elemento de volume $ dV $ é $ dq = \rho , dV = a r , dV $.
Em coordenadas esféricas, o volume infinitesimal é $ dV = 4\pi r^2 dr $. Então, a carga total $ Q_{dentro} $ até o raio $ r $ é:
r
Integrando:
rho = a r

Passo 4

Com a carga total dentro da superfície gaussiana, aplicamos a Lei de Gauss:
PhiE = E cdot 4pi r^2 = Qdentrovarepsilon0 = pi a r^4varepsilon0
Aqui, $ E $ é o campo elétrico que queremos encontrar, e como a simetria é esférica, $ E $ é o mesmo em toda a superfície gaussiana e perpendicular a ela.

Passo 5

Agora, isolamos $ E $ na equação:
E

Resposta

O campo elétrico no interior da esfera é dado por:
E = a r^24 varepsilon0

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