Uma esfera não condutora de raio R tem uma densidade de carga que varia de acordo com a equação
, onde
é uma constante positiva e
é a distância de um ponto qualquer dentro da esfera até o centro. Calcule, em função de
,
e
, o valor do campo elétrico no interior da esfera.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera não condutora com raio $ R $ onde a densidade de carga varia conforme a equação $ \rho = a r $. A gente precisa descobrir o campo elétrico dentro dessa esfera em função de $ a $, $ r $ e $ \varepsilon_{0} $. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil pra calcular campos elétricos em situações de simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada (uma “superfície gaussiana”) é igual à carga total dentro dessa superfície dividida por $ \varepsilon_{0} $. Ou seja:
Como a esfera tem simetria esférica e a densidade de carga depende apenas de $ r $, vamos escolher uma superfície gaussiana também esférica de raio $ r $ (onde $ r \leq R $).
Passo 3
Agora, precisamos calcular a carga total dentro dessa superfície esférica de raio $ r $. A densidade de carga é $ \rho = a r $, então a carga infinitesimal em um elemento de volume $ dV $ é $ dq = \rho , dV = a r , dV $.
Em coordenadas esféricas, o volume infinitesimal é $ dV = 4\pi r^2 dr $. Então, a carga total $ Q_{dentro} $ até o raio $ r $ é:
Integrando:
Passo 4
Com a carga total dentro da superfície gaussiana, aplicamos a Lei de Gauss:
Aqui, $ E $ é o campo elétrico que queremos encontrar, e como a simetria é esférica, $ E $ é o mesmo em toda a superfície gaussiana e perpendicular a ela.
Passo 5
Agora, isolamos $ E $ na equação:
Resposta
O campo elétrico no interior da esfera é dado por: