Uma esfera oca homogênea de massa
e raio
é lançada com velocidade de translação
e sem rotação inicial em uma superfície horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre a esfera e a superfície é
. O momento de inércia da esfera em relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa é:
- Tempo transcorrido desde o lançamento inicial
em que a esfera começa a rolar sem deslizar
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera oca e homogênea com massa $ m $ e raio $ R $ que é lançada com uma velocidade inicial de translação $ v_0 $ e sem nenhuma rotação. Ela está numa superfície horizontal com um coeficiente de atrito cinético $ \mu $. A pergunta quer saber quanto tempo leva até a esfera começa a rolar sem deslizar. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de treliça, torque, aceleração linear e angular, além de usar as fórmulas do momento de inércia.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que está acontecendo com a esfera. Como ela está deslizando sem rolar inicialmente, o atrito cinético está atuando na superfície, causando uma desaceleração na velocidade de translação e ao mesmo tempo iniciando a rotação da esfera.
Passo 3
Vamos calcular a força de atrito $ F $ que está agindo na esfera. A força de atrito cinético é dada por:
onde $ g $ é a aceleração da gravidade.
Passo 4
Essa força de atrito causa uma desaceleração $ a $ na velocidade de translação da esfera. A aceleração é dada por:
Então, a velocidade da esfera em qualquer instante $ t $ é:
Passo 5
Agora, vamos calcular o torque $ \tau $ causado pela força de atrito. O torque é dado por:
Esse torque causa uma aceleração angular $ \alpha $ na esfera. A aceleração angular é:
Então, a velocidade angular em qualquer instante $ t $ é:
Passo 6
A esfera começa a rolar sem deslizar quando a velocidade de translação $ v(t) $ é igual à velocidade de rotação $ R \cdot \omega(t) $. Ou seja:
Substituindo as expressões que encontramos:
Simplificando:
Resposta
O tempo $ t $ para a esfera começar a rolar sem deslizar é: