Uma esfera oca com paredes finas possui raio de 0,25 m e uma quantidade desconhecida de carga distribuída uniformemente sobre sua superfície. A uma distância de 0,300 m do centro da esfera, o campo elétrico aponta radialmente para o centro e possui módulo 1,8 times 10^2 N / C. Quanta carga há na esfera?
Considere varepsilon0=8,85 times 10^-12 C^2 / N m^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera oca com raio de 0,25 metros e uma quantidade desconhecida de carga distribuída de maneira uniforme na sua superfície. O objetivo aqui é descobrir quanta carga tem nessa esfera. Para isso, vamos precisar usar Lei de Gauss, que é uma ferramenta super útil para calcular campos elétricos em situações com simetria, como essa de uma esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde está o ponto onde o campo elétrico foi medido. Ele está a 0,300 metros do centro da esfera. Como esse ponto está fora da esfera (porque 0,300 m é maior que o raio de 0,25 m), podemos tratar a esfera como se toda a carga estivesse concentrada no centro quando usamos a Lei de Gauss.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada (gaussiana) é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante ε₀ (varepsilon zero). Matematicamente, isso fica assim:
PhiE = Qtotalvarepsilon0
Onde:
  • é o fluxo elétrico
  • é a carga total dentro da superfície gaussiana
  • é a constante de permissividade do vácuo, que vale

Passo 4

Como a esfera é esférica e a carga está distribuída uniformemente, o campo elétrico PhiE = E cdot 4pi r^2 em qualquer ponto fora da esfera é radial e tem o mesmo valor em todos os pontos a uma mesma distância. O fluxo elétrico para uma esfera gaussiana de raio é então:
Onde:
  • é o módulo do campo elétrico
  • é a área da superfície da esfera gaussiana

Passo 5

Igualando as duas expressões para o fluxo elétrico, temos:
E cdot 4pi r^2 = Qvarepsilon0
Agora, queremos encontrar Q = E cdot 4pi varepsilon0 r^2 , então vamos isolar ele na equação:

Passo 6

Vamos agora substituir os valores que a gente tem:
  • Campo elétrico Q = (1,8 times 10^2) cdot 4pi cdot (8,85 times 10^-12) cdot (0,300)^2
Substituindo na fórmula:

Passo 7

Vamos calcular passo a passo:
  1. Calcular
  2. Multiplicar por :
  3. Multiplicar por : (aproximadamente)
  4. Multiplicar pelo campo elétrico:

Resposta

A quantidade de carga na esfera é aproximadamente .

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