2 Uma esfera de polímero com condutividade térmica
com diâmetro 100 mm funciona como uma resistência elétrica. A temperatura superficial é
e no contro é
. A temperatura do ar em torno da esfera é
. Determine (
.):
(a) A potencia gerada na esfera: kW ;
(b) O coeficiênte convectivo:
;
(c) O fluxo de calor na superfície esterna da esfera:
.
(a) A potencia gerada na esfera: kW ;
(b) O coeficiênte convectivo:
(c) O fluxo de calor na superfície esterna da esfera:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (coloquei entre parênteses as unidades conforme o enunciado):
-
Dados fornecidos:
- Condutividade térmica:
(peguei esse valor do enunciado). - Diâmetro da esfera:
. Logo o raio é . - Temperatura no centro (núcleo):
(peguei do enunciado). - Temperatura na superfície:
(peguei do enunciado). - Temperatura do ar ao redor:
(peguei do enunciado).
- Condutividade térmica:
-
O enunciado pede:
(a) A potência gerada na esfera (unidade pedida:).
(b) O coeficiente convectivo(unidade pedida: ).
(c) “O fluxo de calor na superfície externa da esfera” com unidade pedida no enunciado.
Observação importante sobre (c): há uma inconsistência textual vs. unidade. A expressão “fluxo de calor na superfície” normalmente tem unidade de
(fluxo superficial), enquanto a unidade indicada no enunciado é
, que é a unidade de geração volumétrica de calor
. Vou seguir a unidade pedida no enunciado e interpretar (c) como a geração volumétrica de calor interna
em
. Se o professor esperava o fluxo superficial, isso seria um valor diferente (vou calcular
superficial durante a resolução como comentário), mas a resposta final em (c) dará
conforme a unidade solicitada.
Passo 2
Conceitos físicos e equações que vamos usar (aulas rápidas, bem mastigadas):
-
Balanço de energia em regime estacionário (tudo constante no tempo): a potência elétrica gerada internamente na esfera (potência total
) sai pela superfície por convecção. Logo: onde:-
é a potência total gerada (unidade: ); -
é o coeficiente de convecção (unidade: ); -
é a área da superfície da esfera: ; -
é temperatura da superfície e do ar.
-
-
Temperatura dentro de uma esfera com geração volumétrica uniforme
(unidade: ) e condutividade : a equação de condução radial em regime permanente, assumindo simetria esférica e geração volumétrica constante, leva à forma (resumo do procedimento de resolver a EDO): Integrando duas vezes e aplicando condições de contorno (derivada finita eme ), obtém-se a diferença entre temperatura no centro e na superfície: Explicação curta do que isso significa: quanto maior a geração volumétricaou maior o raio , maior a diferença ; quanto maior a condutividade , menor essa diferença. -
A potência total gerada pela esfera é simplesmente a geração volumétrica vezes o volume:
Essas três equações (diferença de temperatura, potência total por volume, e balanço convectivo) serão usadas em conjunto para encontrar
,
e
.
Passo 3
Derivar fórmulas úteis que nos permitem calcular diretamente as quantidades pedidas, eliminando
quando conveniente.
Da relação
isolamos
:
Multiplicando por
obtemos a potência total:
Essa expressão é prática porque dá
diretamente a partir de
e da diferença
.
Agora relacionamos
com convecção na superfície:
Isolando
e usando a expressão de
anterior, obtemos:
Resumo das fórmulas a aplicar numericamente:
Passo 4
Substituir valores numéricos passo a passo (usando vírgula decimal conforme pedido):
Dados numéricos (peguei todos do Passo 1):
Calcular
:
Primeiro calcule o produto dentro:
Fazendo as operações:
Agora multiplicar por
:
Avaliação numérica (usar
):
Arredondando de forma prática para a prova:
(que é
).
Passo 5
Calcular o coeficiente convectivo
usando a fórmula obtida:
Substituindo:
Calcule numerador e denominador separadamente:
Logo
Arredondando para prova:
.
(Em unidades mais usuais: .)
(Em unidades mais usuais:
Passo 6
Calcular a geração volumétrica
(unidade pedida em (c) segundo o enunciado):
Substituindo:
Calcule numerador e denominador:
Logo
Isso é um valor exato dado os números; portanto
.
Observação extra (útil para visão física, não pedida explicitamente): o fluxo de calor superficial (densidade de fluxo na superfície), que tem unidade
, seria
Usando
e
, encontra-se
ou seja
. (Só para referência, caso o enunciado quisesse fluxo superficial.)
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)