2 Uma esfera de polímero com condutividade térmica 2,5 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} com diâmetro 100 mm funciona como uma resistência elétrica. A temperatura superficial é 25{ }^{\circ} \mathrm{C} e no contro é 30{ }^{\circ} \mathrm{C}. A temperatura do ar em torno da esfera é 10^{\circ} \mathrm{C}. Determine ( 3,0 \mathrm{pts}.):
(a) A potencia gerada na esfera: kW ;
(b) O coeficiênte convectivo: \mathrm{kW} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K};
(c) O fluxo de calor na superfície esterna da esfera: \mathrm{kW} / \mathrm{m}^{3}.
k=2,5 \cdot 10^{-3} \mathrm{~kW} / \mathrm{mk}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (coloquei entre parênteses as unidades conforme o enunciado):
  • Dados fornecidos:
    • Condutividade térmica: k=2{,}5\cdot10^{-3}\\ \mathrm{kW}\,/(\mathrm{m\,K}) (peguei esse valor do enunciado).
    • Diâmetro da esfera: 100\\ \mathrm{mm}. Logo o raio é R=0{,}05\\ \mathrm{m}.
    • Temperatura no centro (núcleo): T_c=30{,}^\circ\mathrm{C} (peguei do enunciado).
    • Temperatura na superfície: T_s=25{,}^\circ\mathrm{C} (peguei do enunciado).
    • Temperatura do ar ao redor: T_\infty=10{,}^\circ\mathrm{C} (peguei do enunciado).
  • O enunciado pede:
    (a) A potência gerada na esfera (unidade pedida: \mathrm{kW}).
    (b) O coeficiente convectivo h (unidade pedida: \mathrm{kW}/(\mathrm{m}^2\mathrm{K})).
    (c) “O fluxo de calor na superfície externa da esfera” com unidade pedida no enunciado \mathrm{kW}/\mathrm{m}^3.
Observação importante sobre (c): há uma inconsistência textual vs. unidade. A expressão “fluxo de calor na superfície” normalmente tem unidade de \mathrm{kW}/\mathrm{m}^2 (fluxo superficial), enquanto a unidade indicada no enunciado é \mathrm{kW}/\mathrm{m}^3, que é a unidade de geração volumétrica de calor q'''. Vou seguir a unidade pedida no enunciado e interpretar (c) como a geração volumétrica de calor interna \,q'''\, em \mathrm{kW}/\mathrm{m}^3. Se o professor esperava o fluxo superficial, isso seria um valor diferente (vou calcular \,q'' superficial durante a resolução como comentário), mas a resposta final em (c) dará \,q''' conforme a unidade solicitada.

Passo 2

Conceitos físicos e equações que vamos usar (aulas rápidas, bem mastigadas):
  • Balanço de energia em regime estacionário (tudo constante no tempo): a potência elétrica gerada internamente na esfera (potência total \dot{Q}) sai pela superfície por convecção. Logo:
    \dot{Q}=h\,A\,(T_s-T_\infty),
    onde:
    • \dot{Q} é a potência total gerada (unidade: \mathrm{kW});
    • h é o coeficiente de convecção (unidade: \mathrm{kW}/(\mathrm{m}^2\mathrm{K}));
    • A é a área da superfície da esfera: A=4\pi R^2;
    • T_s é temperatura da superfície e T_\infty do ar.
  • Temperatura dentro de uma esfera com geração volumétrica uniforme q''' (unidade: \mathrm{kW}/\mathrm{m}^3) e condutividade k: a equação de condução radial em regime permanente, assumindo simetria esférica e geração volumétrica constante, leva à forma (resumo do procedimento de resolver a EDO):
    \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\!\left(r^2\frac{dT}{dr}\right)=-\frac{q'''}{k}.
    Integrando duas vezes e aplicando condições de contorno (derivada finita em r=0 e T(R)=T_s), obtém-se a diferença entre temperatura no centro e na superfície:
    T_c-T_s=\frac{q'''\,R^2}{6k}.
    Explicação curta do que isso significa: quanto maior a geração volumétrica q''' ou maior o raio R, maior a diferença T_c-T_s; quanto maior a condutividade k, menor essa diferença.
  • A potência total gerada pela esfera é simplesmente a geração volumétrica vezes o volume:
    \dot{Q}=q'''\,V=q'''\,\frac{4}{3}\pi R^3.
Essas três equações (diferença de temperatura, potência total por volume, e balanço convectivo) serão usadas em conjunto para encontrar \dot{Q}, h e q'''.

Passo 3

Derivar fórmulas úteis que nos permitem calcular diretamente as quantidades pedidas, eliminando q''' quando conveniente.
Da relação T_c-T_s=\dfrac{q'''\,R^2}{6k} isolamos q''':
q'''=\frac{6k\,(T_c-T_s)}{R^2}.
Multiplicando por V=\dfrac{4}{3}\pi R^3 obtemos a potência total:
\dot{Q}=q'''\,V =\frac{6k\,(T_c-T_s)}{R^2}\cdot\frac{4}{3}\pi R^3 =8\pi k R (T_c-T_s).
Essa expressão é prática porque dá \dot{Q} diretamente a partir de k,R e da diferença T_c-T_s.
Agora relacionamos \dot{Q} com convecção na superfície:
\dot{Q}=h\,A\,(T_s-T_\infty)=h\,(4\pi R^2)(T_s-T_\infty).
Isolando h e usando a expressão de \dot{Q} anterior, obtemos:
h=\frac{\dot{Q}}{4\pi R^2 (T_s-T_\infty)} =\frac{8\pi k R (T_c-T_s)}{4\pi R^2 (T_s-T_\infty)} =\frac{2k\,(T_c-T_s)}{R\,(T_s-T_\infty)}.
Resumo das fórmulas a aplicar numericamente:
\dot{Q}=8\pi k R (T_c-T_s), \qquad h=\frac{2k\,(T_c-T_s)}{R\,(T_s-T_\infty)}, \qquad q'''=\frac{6k\,(T_c-T_s)}{R^2}.

Passo 4

Substituir valores numéricos passo a passo (usando vírgula decimal conforme pedido):
Dados numéricos (peguei todos do Passo 1):
k=2{,}5\cdot10^{-3}\\ \mathrm{kW}/(\mathrm{m\,K}),\qquad R=0{,}05\\ \mathrm{m},
T_c-T_s=30-25=5\\ \mathrm{K},\qquad T_s-T_\infty=25-10=15\\ \mathrm{K}.
Calcular \dot{Q}:
\dot{Q}=8\pi k R (T_c-T_s).
Primeiro calcule o produto dentro:
kR(T_c-T_s)=\bigl(2{,}5\cdot10^{-3}\bigr)\times0{,}05\times5.
Fazendo as operações:
2{,}5\cdot10^{-3}\times0{,}05=1{,}25\cdot10^{-4},
1{,}25\cdot10^{-4}\times5=6{,}25\cdot10^{-4}.
Agora multiplicar por 8\pi:
\dot{Q}=8\pi\times6{,}25\cdot10^{-4}=0{,}005\pi\\ \mathrm{kW}.
Avaliação numérica (usar \pi\approx3{,}141593):
\dot{Q}\approx0{,}005\times3{,}141593=0{,}01570796\\ \mathrm{kW}.
Arredondando de forma prática para a prova: \dot{Q}\approx0{,}0157\\ \mathrm{kW} (que é \approx15{,}7\\ \mathrm{W}).

Passo 5

Calcular o coeficiente convectivo h usando a fórmula obtida:
h=\frac{2k\,(T_c-T_s)}{R\,(T_s-T_\infty)}.
Substituindo:
h=\frac{2\times(2{,}5\cdot10^{-3})\times5}{0{,}05\times15}.
Calcule numerador e denominador separadamente:
\text{numerador}=2\times2{,}5\cdot10^{-3}\times5=5{,}0\cdot10^{-3}\times5=0{,}025,
\text{denominador}=0{,}05\times15=0{,}75.
Logo
h=\frac{0{,}025}{0{,}75}=0{,}033333\ldots\\ \mathrm{kW}/(\mathrm{m}^2\mathrm{K}).
Arredondando para prova: h\approx0{,}0333\\ \mathrm{kW}/(\mathrm{m}^2\mathrm{K}).
(Em unidades mais usuais: h\approx33{,}3\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\mathrm{K}).)

Passo 6

Calcular a geração volumétrica q''' (unidade pedida em (c) segundo o enunciado):
q'''=\frac{6k\,(T_c-T_s)}{R^2}.
Substituindo:
q'''=\frac{6\times(2{,}5\cdot10^{-3})\times5}{(0{,}05)^2}.
Calcule numerador e denominador:
\text{numerador}=6\times2{,}5\cdot10^{-3}\times5=0{,}015\times5=0{,}075,
\text{denominador}=(0{,}05)^2=0{,}0025.
Logo
q'''=\frac{0{,}075}{0{,}0025}=30\\ \mathrm{kW}/\mathrm{m}^3.
Isso é um valor exato dado os números; portanto q'''=30\\ \mathrm{kW}/\mathrm{m}^3.
Observação extra (útil para visão física, não pedida explicitamente): o fluxo de calor superficial (densidade de fluxo na superfície), que tem unidade \mathrm{kW}/\mathrm{m}^2, seria
q''_{s}=\frac{\dot{Q}}{A}=\frac{\dot{Q}}{4\pi R^2}.
Usando \dot{Q}=0{,}01570796\\ \mathrm{kW} e A=4\pi(0{,}05)^2, encontra-se
q''_{s}=\frac{0{,}005\pi}{4\pi\times0{,}0025}=\frac{0{,}005}{4\times0{,}0025}=\frac{0{,}005}{0{,}01}=0{,}5\\ \mathrm{kW}/\mathrm{m}^2
ou seja 0{,}5\\ \mathrm{kW}/\mathrm{m}^2=500\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2. (Só para referência, caso o enunciado quisesse fluxo superficial.)

Resposta

(a) 0{,}0157\\ \mathrm{kW}
(b) 0{,}0333\\ \mathrm{kW}/(\mathrm{m}^2\mathrm{K})
(c) 30\\ \mathrm{kW}/\mathrm{m}^3

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