Uma esfera uniforme de massa
raio
desce rolando uma inclinação de 5 m sem deslizar. Qual é a velocidade angular da esfera ao chegar ao final da inclinação?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera uniforme com massa
e raio
que desce rolando sem deslizar por uma inclinação de comprimento
. Queremos descobrir qual é a velocidade angular
da esfera ao chegar ao final dessa inclinação.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia mecânica (cinética e potencial) e movimento de rotação. Também vamos aplicar a condição de rolamento sem deslizamento, que relaciona a velocidade linear com a velocidade angular.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a energia que a esfera tem no início e no final do trajeto. No início, a esfera está parada, então sua energia cinética é zero, mas ela tem energia potencial gravitacional devido à sua altura.
Ao descer pela inclinação, essa energia potencial se transforma em energia cinética de translação (movimento para baixo) e energia cinética de rotação (giro da esfera).
A energia potencial inicial
é dada por:
onde:
-
é a massa da esfera, -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura da inclinação.
Precisamos descobrir a altura
da inclinação. Sabemos que o comprimento da inclinação
e, para calcular
, precisaríamos do ângulo de inclinação, mas como não foi fornecido, vamos assumir que a inclinação é onde a esfera desce verticalmente (o que é uma simplificação). Então, vamos considerar
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a energia cinética total no final do trajeto. A energia cinética total
é a soma da energia cinética de translação (
) e da energia cinética de rotação (
):
Para uma esfera sólida, o momento de inércia
é:
Além disso, como a esfera rola sem deslizar, a velocidade linear
está relacionada à velocidade angular
pela relação:
Passo 4
Vamos igualar a energia potencial inicial à energia cinética total no final:
Substituindo
e
na equação:
Simplificando:
Agora, podemos resolver para
:
Passo 5
Finalmente, usando a relação entre
e
:
Substituindo os valores:
Resposta
A velocidade angular da esfera ao chegar ao final da inclinação é aproximadamente
.