O n-ésimo número de Mersenne é M_{n}=2^{n}-1, \operatorname{com} n \geq 1.
(a) Mostre que se M_{n}=2^{n}-1 é primo então n é primo.
(b) (Teorema de Euclides sobre números perfeitos)
Um número natural a é perfeito se a é igual à soma de seus divisores positivos próprios (isto é , diferentes de a ).
Por exemplo,
6=1+2+3 ; \quad 28=1+2+4+7+14 .
Mostre que se p é primo e M_{p}=2^{p}-1 é primo então o número
a=2^{p-1} M_{p}
é perfeito.

Passo 1

Vamos organizar o que o enunciado pede e quais informações temos, com calma. Temos definido o n-ésimo número de Mersenne por
M_{n}=2^{n}-1,\quad n\ge 1.
O enunciado tem duas partes:
(a) Mostrar que: se M_{n}=2^{n}-1 é primo então n é primo.
(b) Mostrar (Teorema de Euclides): se p é primo e M_{p}=2^{p}-1 é primo então
a=2^{p-1}M_{p}
é um número perfeito (ou seja, igual à soma de seus divisores próprios positivos).
Estas são as perguntas. As informações relevantes: definição de M_n; em (b) sabe-se que p e M_p são primos. Não há outras figuras ou tabelas.

Passo 2

Prova de (a): ideia básica e contrapositive. Vou provar a contrapartida: se n não é primo (isto é, n é composto) então M_{n} não é primo (ou seja, é composto). Isso é equivalente ao enunciado e costuma ser mais direto.
Se n é composto, então existem inteiros a e b com 1<a<n tais que
n=ab.
Agora use uma identidade algébrica bem conhecida: para qualquer x e inteiros a,b\ge 1,
x^{ab}-1=(x^{a})^{b}-1=(x^{a}-1)\bigl(x^{a(b-1)}+x^{a(b-2)}+\cdots+x^{a}+1\bigr).
Isto é a fatoração de uma diferença de potências (pense em fator comum). Vou aplicar essa identidade com x=2.

Passo 3

Aplicando a identidade com x=2 e n=ab obtemos
2^{n}-1=2^{ab}-1=(2^{a}-1)\bigl(2^{a(b-1)}+2^{a(b-2)}+\cdots+2^{a}+1\bigr).
Observe dois pontos importantes:
  1. O primeiro fator 2^{a}-1 é maior que 1 porque a\ge 2 (já que 1<a). De fato, se a\ge2 então 2^{a}-1\ge 2^{2}-1=3.
  2. O segundo fator também é um inteiro maior do que 1. É uma soma de b termos positivos (cada termo pelo menos 1), logo é \ge b\ge 2.
Portanto 2^{n}-1 tem uma fatoração não-trivial, isto é, é composto. Isso mostra que se n é composto então M_{n} é composto. Tomando a contrária: se M_{n} for primo então não pode ser composto, logo n não é composto; portanto n é primo. Isso prova (a).
Exemplo rápido para intuição: com n=6=2\cdot3 temos M_{6}=2^{6}-1=63=(2^{2}-1)(2^{4}+2^{2}+1)=3\cdot21, composto.

Passo 4

Agora (b). Primeiro vamos lembrar o que é um divisor próprio e a ideia de soma dos divisores. Um divisor próprio positivo de um número N é qualquer divisor positivo de N diferente de N (por exemplo, para 6 os divisores próprios são 1,2,3). Um número é perfeito se a soma de todos os seus divisores próprios é igual ao próprio número.
Queremos provar: se p é primo e M_{p}=2^{p}-1 também é primo, então
a=2^{p-1}M_{p}
é perfeito.
Vou proceder listando os divisores e calculando a soma deles. Para facilitar, uso que 2^{p-1} e M_{p} são coprimos (explico por quê) e então os divisores de a são produtos dos divisores de cada fator.

Passo 5

Verificação de coprimalidade e estrutura dos divisores. Como M_{p}=2^{p}-1 é ímpar (porque 2^{p} é par), temos \gcd(2^{p-1},M_{p})=1. Quando dois inteiros u e v são coprimos, todo divisor de uv é produto de um divisor de u por um divisor de v. Aqui:
  • Os divisores positivos de 2^{p-1} são exatamente 1,2,2^{2},\dots,2^{p-1}. (Porque 2^{p-1} é uma potência de 2.)
  • Como M_{p} é primo, os divisores positivos de M_{p} são apenas 1 e M_{p}.
Logo os divisores positivos de a=2^{p-1}M_{p} são todos os produtos 2^{k}\cdot d com 0\le k\le p-1 e d\in\{1,M_{p}\}. Em lista ordenada: os divisores são
1,2,2^{2},\dots,2^{p-1},\; M_{p},\;2M_{p},\dots,2^{p-1}M_{p}.
Destes, o maior 2^{p-1}M_{p} é o próprio a; os demais são divisores próprios.

Passo 6

Cálculo da soma dos divisores (função \sigma). Uma forma elegante é usar a multiplicatividade de \sigma para fatores coprimos: \sigma(uv)=\sigma(u)\sigma(v) se \gcd(u,v)=1. Aqui, porém, vou fazer diretamente a soma com séries geométricas para ficar bem mastigado:
A soma de todas as potências de 2 de 0 até p-1 é uma progressão geométrica:
1+2+2^{2}+\cdots+2^{p-1}=\frac{2^{p}-1}{2-1}=2^{p}-1.
Esta fórmula vem da soma de uma série geométrica com razão 2. Sempre que temos 1+r+\cdots+r^{n-1}=\dfrac{r^{n}-1}{r-1}; aqui r=2 e n=p.
Como os divisores de a são os que listei, a soma de todos os divisores de a (incluindo a próprio) é
\bigl(1+2+\cdots+2^{p-1}\bigr)\bigl(1+M_{p}\bigr).
Isto corresponde a somar os blocos "poderes de 2" e "esses mesmos poderes multiplicados por M_{p}".

Passo 7

Agora substituo a soma geométrica e o fato de que M_{p}=2^{p}-1. Primeiro
1+2+\cdots+2^{p-1}=2^{p}-1.
E como M_{p} é primo,
1+M_{p}=1+(2^{p}-1)=2^{p}.
Multiplicando:
\text{(soma de todos os divisores de }a)=\bigl(2^{p}-1\bigr)\cdot 2^{p}.
Mas note que a=2^{p-1}M_{p}=2^{p-1}(2^{p}-1). Então
\bigl(2^{p}-1\bigr)\cdot 2^{p}=2\cdot\bigl(2^{p-1}(2^{p}-1)\bigr)=2a.

Passo 8

A soma de todos os divisores de a (incluindo a stesso) é \sigma(a)=2a. A soma dos divisores próprios é \sigma(a)-a. Portanto
\text{soma dos divisores próprios de }a = 2a - a = a.ó
Isto mostra precisamente que a é perfeito. Concluímos a parte (b).

Resposta

(a) \;n é primo.
(b) \;a=2^{p-1}M_{p} é perfeito.

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