Sendo a e b inteiros não-nulos, demonstre os resultados abaixo utilizando o Teorema Fundamental da Aritmética e as fórmulas do mdc e mmc dadas em termos da fatoração em primos.
m d c(a, b) \cdot m m c(a, b)=|a b|.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a igualdade
\gcd(a,b)\cdot \operatorname{lcm}(a,b)=|ab|
para a e b inteiros não-nulos. As informações dadas são somente que a e b são inteiros e a\neq0,\;b\neq0. A tarefa é provar que o produto do máximo divisor comum de a e b pelo mínimo múltiplo comum de a e b é igual ao valor absoluto do produto ab.

Passo 2

Vou usar a fatoração em primos de a e b. Pelo Teorema Fundamental da Aritmética (que diz que todo inteiro diferente de 0 e de \pm1 tem uma fatoração única em primos, até a ordem e sinal), podemos escrever a e b como produto de potências de primos. Seja \{p_1,p_2,\dots,p_r\} o conjunto finito de todos os primos que aparecem na fatoração de a ou de b (primos que não aparecem em uma das duas fatorações terão expoente zero nessa fatoração). Então existem expoentes inteiros não-negativos \alpha_i,\beta_i tais que
a=\varepsilon_a\prod_{i=1}^{r} p_i^{\alpha_i},\qquad b=\varepsilon_b\prod_{i=1}^{r} p_i^{\beta_i},
onde \varepsilon_a\in\{\pm1\} e \varepsilon_b\in\{\pm1\} são os sinais de a e b. Aqui cada \alpha_i\ge0 e \beta_i\ge0; se p_i não divide a então \alpha_i=0, e de forma análoga para \beta_i.
Explicando devagar: escrever a assim significa que você pega todos os primos que aparecem em a ou b e anota quantas vezes cada primo aparece em a (esse número é \alpha_i) e quantas vezes aparece em b (esse número é \beta_i). Se um primo não aparece, o expoente é zero.

Passo 3

Agora escrevo as fórmulas (que vêm da própria ideia de fatoração em primos) para o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum em termos desses expoentes. Para cada primo p_i:
  • O expoente de p_i em \gcd(a,b) é o menor entre \alpha_i e \beta_i, isto é \min(\alpha_i,\beta_i).
  • O expoente de p_i em \operatorname{lcm}(a,b) é o maior entre \alpha_i e \beta_i, isto é \max(\alpha_i,\beta_i).
Portanto
\gcd(a,b)=\prod_{i=1}^{r} p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)} \qquad\text{e}\qquad \operatorname{lcm}(a,b)=\prod_{i=1}^{r} p_i^{\max(\alpha_i,\beta_i)}.
Breve justificativa intuitiva: um divisor comum não pode ter mais cópias de um primo do que tem o menor dos dois números; por isso usamos o mínimo. Um múltiplo comum precisa ter pelo menos tantas cópias de cada primo quanto o maior dos dois números exige; por isso usamos o máximo.
Exemplo rápido para fixar: se a=12=2^2\cdot3^1 e b=18=2^1\cdot3^2, então \gcd(a,b)=2^{\min(2,1)}3^{\min(1,2)}=2^1\cdot3^1=6 e \operatorname{lcm}(a,b)=2^{\max(2,1)}3^{\max(1,2)}=2^2\cdot3^2=36.

Passo 4

Multiplico \gcd(a,b) por \operatorname{lcm}(a,b). Usando as expressões acima:
\gcd(a,b)\cdot\operatorname{lcm}(a,b) = \left(\prod_{i=1}^{r} p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)}\right) \left(\prod_{i=1}^{r} p_i^{\max(\alpha_i,\beta_i)}\right) = \prod_{i=1}^{r} p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)+\max(\alpha_i,\beta_i)}.
Agora uso a propriedade simples de inteiros não-negativos: para quaisquer x,y\ge0 vale \min(x,y)+\max(x,y)=x+y. Aplicando isso a cada par (\alpha_i,\beta_i) obtemos
\min(\alpha_i,\beta_i)+\max(\alpha_i,\beta_i)=\alpha_i+\beta_i.
Logo
\gcd(a,b)\cdot\operatorname{lcm}(a,b)=\prod_{i=1}^{r} p_i^{\alpha_i+\beta_i}.

Passo 5

Calculo |ab| usando as fatorações de a e b. Temos
ab=(\varepsilon_a\varepsilon_b)\prod_{i=1}^{r} p_i^{\alpha_i+\beta_i}.
Tomando valor absoluto, o fator de sinal \varepsilon_a\varepsilon_b desaparece porque |\varepsilon_a\varepsilon_b|=1. Assim
|ab|=\prod_{i=1}^{r} p_i^{\alpha_i+\beta_i}.
Comparando com o resultado do passo anterior, concluímos que
\gcd(a,b)\cdot\operatorname{lcm}(a,b)=|ab|.
Uma observação final amiga: a razão pela qual aparece |ab| (valor absoluto) é que, por convenção, \gcd e \operatorname{lcm} são números não-negativos, enquanto ab pode ser negativo se a e b tiverem sinais opostas. Por isso a igualdade natural envolve o valor absoluto.

Resposta

\gcd(a,b)\cdot \operatorname{lcm}(a,b)=|ab|

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