Sendo
e
inteiros não-nulos, demonstre os resultados abaixo utilizando o Teorema Fundamental da Aritmética e as fórmulas do mdc e mmc dadas em termos da fatoração em primos.
.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a igualdade
para
e
inteiros não-nulos. As informações dadas são somente que
e
são inteiros e
. A tarefa é provar que o produto do máximo divisor comum de
e
pelo mínimo múltiplo comum de
e
é igual ao valor absoluto do produto
.
Passo 2
Vou usar a fatoração em primos de
e
. Pelo Teorema Fundamental da Aritmética (que diz que todo inteiro diferente de
e de
tem uma fatoração única em primos, até a ordem e sinal), podemos escrever
e
como produto de potências de primos. Seja
o conjunto finito de todos os primos que aparecem na fatoração de
ou de
(primos que não aparecem em uma das duas fatorações terão expoente zero nessa fatoração). Então existem expoentes inteiros não-negativos
tais que
onde
e
são os sinais de
e
. Aqui cada
e
; se
não divide
então
, e de forma análoga para
.
Explicando devagar: escrever
assim significa que você pega todos os primos que aparecem em
ou
e anota quantas vezes cada primo aparece em
(esse número é
) e quantas vezes aparece em
(esse número é
). Se um primo não aparece, o expoente é zero.
Passo 3
Agora escrevo as fórmulas (que vêm da própria ideia de fatoração em primos) para o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum em termos desses expoentes. Para cada primo
:
- O expoente de
em é o menor entre e , isto é . - O expoente de
em é o maior entre e , isto é .
Portanto
Breve justificativa intuitiva: um divisor comum não pode ter mais cópias de um primo do que tem o menor dos dois números; por isso usamos o mínimo. Um múltiplo comum precisa ter pelo menos tantas cópias de cada primo quanto o maior dos dois números exige; por isso usamos o máximo.
Exemplo rápido para fixar: se
e
, então
e
.
Passo 4
Multiplico
por
. Usando as expressões acima:
Agora uso a propriedade simples de inteiros não-negativos: para quaisquer
vale
. Aplicando isso a cada par
obtemos
Logo
Passo 5
Calculo
usando as fatorações de
e
. Temos
Tomando valor absoluto, o fator de sinal
desaparece porque
. Assim
Comparando com o resultado do passo anterior, concluímos que
Uma observação final amiga: a razão pela qual aparece
(valor absoluto) é que, por convenção,
e
são números não-negativos, enquanto
pode ser negativo se
e
tiverem sinais opostas. Por isso a igualdade natural envolve o valor absoluto.