No espaço
dos polinômios, mostre que, se
e
, então
é um produto interno. Verifique por que não é um produto interno em
(espaço das funções contínuas de
em
) embora o seja em
. Observe também que, mudando os valores de
e
, obtemos um produto interno diferente no mesmo espaço
.
Passo 1
O enunciado define, no espaço dos polinômios
, a forma bilinear
com
. Queremos mostrar que isso satisfaz as três propriedades de produto interno: simetria, bilinearidade e positividade definida. Em seguida, vamos ver por que a mesma definição não funciona em
, mas funciona em
. Também observaremos que mudar
muda o produto interno.
Passo 2
Primeiro verificamos simetria e bilinearidade. Seja
e
.
- (Simetria)
- (Bilinearidade)
Passo 3
Agora a positividade definida em
:
- Para todo
, porque . - Se
é um polinômio não nulo, então é uma função contínua não identicamente zero, de modo que existe um subintervalo de em que , o que dá
Logo
se e somente se
. Isso mostra que em
temos produto interno.
Passo 4
Em
a forma
continua simétrica e bilinear, mas falha a positividade definida: basta tomar uma função contínua que seja nula em
e não seja identicamente zero fora desse intervalo. Então
continua simétrica e bilinear, mas falha a positividade definida: basta tomar uma função contínua
mas
em
. Logo
sem
, falhando a condição de produto interno.
Passo 5
Em
, por outro lado, qualquer
contínua em
que satisfaça
deve ter para todo
(pois se tivesse
, por continuidade apareceria um intervalo onde
, gerando integral positiva). Assim
em
e a positividade definida vale.
deve ter
Passo 6
Finalmente, ao trocar os limites
por outros
com
, obtemos uma forma
que tem as mesmas propriedades mas, em geral, define uma norma e um ângulo diferentes daqueles de
.
Resposta
Em
e em
a forma
é produto interno. Em
ela falha a positividade definida porque funções não nulas fora de
têm norma zero. Mudar
altera a norma e, portanto, muda o produto interno.