No espaço \mathcal{P}(\mathbb{R}) dos polinômios, mostre que, se a, b \in \mathbb{R} e a<b, então \langle p, q\rangle=\int_{a}^{b} p(t) q(t) d t é um produto interno. Verifique por que não é um produto interno em \mathcal{C}(\mathbb{R}) (espaço das funções contínuas de \mathbb{R} em \mathbb{R} ) embora o seja em \mathcal{C}([a, b]). Observe também que, mudando os valores de a e b, obtemos um produto interno diferente no mesmo espaço \mathcal{P}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado define, no espaço dos polinômios \mathcal P(\mathbb R), a forma bilinear
\langle p,q\rangle \;=\;\int_{a}^{b}p(t)\,q(t)\,dt,
com a<b. Queremos mostrar que isso satisfaz as três propriedades de produto interno: simetria, bilinearidade e positividade definida. Em seguida, vamos ver por que a mesma definição não funciona em \mathcal C(\mathbb R), mas funciona em \mathcal C([a,b]). Também observaremos que mudar a,b muda o produto interno.

Passo 2

Primeiro verificamos simetria e bilinearidade. Seja p,q,r\in\mathcal P(\mathbb R) e \alpha,\beta\in\mathbb R.
  1. (Simetria)
\langle p,q\rangle =\int_a^b p(t)\,q(t)\,dt =\int_a^b q(t)\,p(t)\,dt =\langle q,p\rangle.
  1. (Bilinearidade)
\langle \alpha p+\beta q,\;r\rangle =\int_a^b \bigl(\alpha p(t)+\beta q(t)\bigr)\,r(t)\,dt =\alpha\int_a^b p(t)r(t)\,dt +\beta\int_a^b q(t)r(t)\,dt =\alpha\langle p,r\rangle+\beta\langle q,r\rangle.

Passo 3

Agora a positividade definida em \mathcal P(\mathbb R):
  • Para todo p, \langle p,p\rangle=\int_a^b p(t)^2\,dt\ge0 porque p(t)^2\ge0.
  • Se p\neq0 é um polinômio não nulo, então p(t)^2 é uma função contínua não identicamente zero, de modo que existe um subintervalo de [a,b] em que p(t)^2>0, o que dá
\int_a^b p(t)^2\,dt>0.
Logo \langle p,p\rangle=0 se e somente se p=0. Isso mostra que em \mathcal P(\mathbb R) temos produto interno.

Passo 4

Em \mathcal C(\mathbb R) a forma \langle f,g\rangle=\int_a^b f(t)g(t)\,dt
continua simétrica e bilinear, mas falha a positividade definida: basta tomar uma função contínua f que seja nula em [a,b] e não seja identicamente zero fora desse intervalo. Então
\int_a^b f(t)^2\,dt=0
mas f\neq0 em \mathbb R. Logo \langle f,f\rangle=0 sem f=0, falhando a condição de produto interno.

Passo 5

Em \mathcal C([a,b]), por outro lado, qualquer f contínua em [a,b] que satisfaça \int_a^b f(t)^2\,dt=0
deve ter f(t)^2=0 para todo t\in[a,b] (pois se tivesse f(t_0)\neq0, por continuidade apareceria um intervalo onde f^2>0, gerando integral positiva). Assim f\equiv0 em [a,b] e a positividade definida vale.

Passo 6

Finalmente, ao trocar os limites a,b por outros a',b' com a'<b', obtemos uma forma
\langle p,q\rangle_{[a',b']} =\int_{a'}^{b'}p(t)q(t)\,dt
que tem as mesmas propriedades mas, em geral, define uma norma e um ângulo diferentes daqueles de \langle\cdot,\cdot\rangle_{[a,b]}.

Resposta

Em \mathcal P(\mathbb R) e em \mathcal C([a,b]) a forma \langle f,g\rangle=\int_a^b f(t)g(t)\,dt é produto interno. Em \mathcal C(\mathbb R) ela falha a positividade definida porque funções não nulas fora de [a,b] têm norma zero. Mudar a,b altera a norma e, portanto, muda o produto interno.

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