Determine lambda \in \mathbb{R} para que os polinômios p=x^{2}-1 e q=\lambda x-2 sejam ortogonais com respeito aos seguintes produtos internos em P_{2}(\mathbb{R}) :
(ii) \< p, q\rangle=p(-1) q(-1)+p(0) q(0)+p(1) q(1)+p(2) q(2).

Passo 1

O enunciado pede o valor de \lambda\in\mathbb{R} tal que os polinômios
p(x)=x^2-1
e
q(x)=\lambda x - 2
sejam ortogonais em P_2(\mathbb{R}) com o produto interno discreto
\langle p,q\rangle = p(-1)q(-1)+p(0)q(0)+p(1)q(1)+p(2)q(2).
Para polinômios serem ortogonais, basta satisfazer
\langle p,q\rangle = 0.

Passo 2

Calcular os valores de p nos pontos -1,0,1,2:
p(-1)=(-1)^2-1=0,\quad p(0)=0^2-1=-1,\quad p(1)=1-1=0,\quad p(2)=4-1=3.

Passo 3

Calcular os valores de q nos mesmos pontos:
q(-1)=\lambda\cdot(-1)-2=-\lambda -2,\quad q(0)=-2,\quad q(1)=\lambda-2,\quad q(2)=2\lambda-2.

Passo 4

Substituir na definição do produto interno:
\langle p,q\rangle = p(-1)q(-1)+p(0)q(0)+p(1)q(1)+p(2)q(2) = 0\cdot(-\lambda-2)+(-1)\cdot(-2)+0\cdot(\lambda-2)+3\cdot(2\lambda-2).
Isso simplifica para
\langle p,q\rangle = 2 + 3(2\lambda-2)=2+6\lambda-6=6\lambda-4.

Passo 5

Impor a ortogonalidade \langle p,q\rangle=0:
6\lambda - 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.

Resposta

\displaystyle \lambda = \frac{2}{3}.

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