Um espaço métrico
se diz homogêneo se para quaisquer
existe um homeomorfismo
tal que
.
Se M e N são homeomorfos mostre que M é homogêneo se, e somente se, N é homogêneo.
Se M e N são homeomorfos mostre que M é homogêneo se, e somente se, N é homogêneo.
Passo 1
O enunciado pede para provar a equivalência: se
e
são homeomorfos então
é homogêneo se, e somente se,
é homogêneo.
Informações dadas:
- A definição de espaço homogêneo: um espaço métrico
é homogêneo se, para quaisquer , existe um homeomorfismo tal que . - Sabemos que
e são homeomorfos; isto é, existe um homeomorfismo (portanto é bijetivo, contínuo e tem inversa contínua ).
O que precisamos mostrar:
- Direção 1: se
é homogêneo então é homogêneo. - Direção 2: se
é homogêneo então é homogêneo.
Passo 2
Lemas e fatos que vamos usar (explicados de forma didática):
- Composição de funções contínuas é contínua. Ou seja, se
e são contínuas então é contínua.
Explicação rápida: continuidade significa que aproximações na entrada viram aproximações na saída; aplicar uma função contínua após outra preserva essa propriedade. - A inversa de um homeomorfismo é um homeomorfismo. Por definição, se
é homeomorfismo então é contínua e bijetiva. - Se
, , são homeomorfismos entre espaços apropriados, então a composição é um homeomorfismo. Além disso, a inversa de uma composição é a composição das inversas na ordem inversa: Aplicando isso a três fatores, .
Esses fatos implicam que, se pegarmos homeomorfismos e os compusermos ou invertê-los, permanecemos no conjunto de homeomorfismos — ferramenta central para transportar automorfismos (homeomorfismos do espaço em si) de um espaço para outro.
Passo 3
Prova da direção 1: suponha que
é homogêneo e que
é um homeomorfismo dado.
Queremos mostrar que
é homogêneo. Pegue quaisquer pontos
. Como
é bijetivo, existem pontos
Pelo hipótese de homogeneidade de
, existe um homeomorfismo
tal que
.
Agora definimos uma função
por conjugação:
Explicação do porquê disso faz sentido: primeiro aplicamos
para voltar de
para
, depois fazemos o automorfismo
que manda
em
, e por fim aplicamos
para retornar a
. Assim transportamos a “movimentação” que existe em
para
.
Verificações:
-
é homeomorfismo porque é composição de homeomorfismos ( , e são homeomorfismos). - Avaliando
em :
Portanto, para quaisquer
construímos um homeomorfismo
com
. Logo
é homogêneo.
Passo 4
Prova da direção 2: suponha agora que
é homogêneo e use o mesmo homeomorfismo
.
Queremos mostrar que
é homogêneo. Pegue quaisquer
. Defina
e
. Pela homogeneidade de
, existe um homeomorfismo
tal que
.
Agora conjugamos
por
para obter um homeomorfismo de
:
Verificações:
-
é homeomorfismo porque é composição de homeomorfismos. - Avaliando
em :
Assim, para quaisquer
construímos um homeomorfismo
com
. Logo
é homogêneo.
Passo 5
Conclusão e observação didática final: mostramos ambas as implicações usando apenas a ideia de conjugação por um homeomorfismo e os fatos básicos sobre composições e inversas de aplicações contínuas. Em termos intuitivos, a propriedade de ser homogêneo é preservada por homeomorfismos porque um homeomorfismo dá uma “tradução” completa entre as estruturas topológicas de
e
; tudo que você pode fazer em
(mover pontos por automorfismos) pode ser traduzido para
e vice-versa.