Um espaço métrico M se diz homogêneo se para quaisquer a, b \in M existe um homeomorfismo f: M \longrightarrow M tal que f(a)=b.
Se M e N são homeomorfos mostre que M é homogêneo se, e somente se, N é homogêneo.

Passo 1

O enunciado pede para provar a equivalência: se M e N são homeomorfos então M é homogêneo se, e somente se, N é homogêneo.
Informações dadas:
  • A definição de espaço homogêneo: um espaço métrico M é homogêneo se, para quaisquer a,b\in M, existe um homeomorfismo f:M\to M tal que f(a)=b.
  • Sabemos que M e N são homeomorfos; isto é, existe um homeomorfismo h:M\to N (portanto h é bijetivo, contínuo e tem inversa contínua h^{-1}:N\to M).
O que precisamos mostrar:
  • Direção 1: se M é homogêneo então N é homogêneo.
  • Direção 2: se N é homogêneo então M é homogêneo.

Passo 2

Lemas e fatos que vamos usar (explicados de forma didática):
  • Composição de funções contínuas é contínua. Ou seja, se f e g são contínuas então f\circ g é contínua.
    Explicação rápida: continuidade significa que aproximações na entrada viram aproximações na saída; aplicar uma função contínua após outra preserva essa propriedade.
  • A inversa de um homeomorfismo é um homeomorfismo. Por definição, se h é homeomorfismo então h^{-1} é contínua e bijetiva.
  • Se A, B, C são homeomorfismos entre espaços apropriados, então a composição A\circ B\circ C é um homeomorfismo. Além disso, a inversa de uma composição é a composição das inversas na ordem inversa: (A\circ B)^{-1} = B^{-1}\circ A^{-1}.Aplicando isso a três fatores, (A\circ B\circ C)^{-1} = C^{-1}\circ B^{-1}\circ A^{-1}.
Esses fatos implicam que, se pegarmos homeomorfismos e os compusermos ou invertê-los, permanecemos no conjunto de homeomorfismos — ferramenta central para transportar automorfismos (homeomorfismos do espaço em si) de um espaço para outro.

Passo 3

Prova da direção 1: suponha que M é homogêneo e que h:M\to N é um homeomorfismo dado.
Queremos mostrar que N é homogêneo. Pegue quaisquer pontos x,y\in N. Como h é bijetivo, existem pontos
a = h^{-1}(x)\in M,\qquad b = h^{-1}(y)\in M.
Pelo hipótese de homogeneidade de M, existe um homeomorfismo g:M\to M tal que g(a)=b.
Agora definimos uma função f:N\to N por conjugação:
f = h\circ g \circ h^{-1}.
Explicação do porquê disso faz sentido: primeiro aplicamos h^{-1} para voltar de N para M, depois fazemos o automorfismo g que manda a em b, e por fim aplicamos h para retornar a N. Assim transportamos a “movimentação” que existe em M para N.
Verificações:
  • f é homeomorfismo porque é composição de homeomorfismos ( h, g e h^{-1} são homeomorfismos).
  • Avaliando f em x: f(x) = (h\circ g \circ h^{-1})(x) = h\bigl(g(h^{-1}(x))\bigr) = h(g(a)) = h(b) = y.
Portanto, para quaisquer x,y\in N construímos um homeomorfismo f:N\to N com f(x)=y. Logo N é homogêneo.

Passo 4

Prova da direção 2: suponha agora que N é homogêneo e use o mesmo homeomorfismo h:M\to N.
Queremos mostrar que M é homogêneo. Pegue quaisquer a,b\in M. Defina x = h(a)\in N e y = h(b)\in N. Pela homogeneidade de N, existe um homeomorfismo \varphi:N\to N tal que \varphi(x)=y.
Agora conjugamos \varphi por h para obter um homeomorfismo de M:
\psi = h^{-1}\circ \varphi \circ h.
Verificações:
  • \psi é homeomorfismo porque é composição de homeomorfismos.
  • Avaliando \psi em a: \psi(a) = (h^{-1}\circ \varphi \circ h)(a) = h^{-1}(\varphi(h(a))) = h^{-1}(\varphi(x)) = h^{-1}(y) = b.
Assim, para quaisquer a,b\in M construímos um homeomorfismo \psi:M\to M com \psi(a)=b. Logo M é homogêneo.

Passo 5

Conclusão e observação didática final: mostramos ambas as implicações usando apenas a ideia de conjugação por um homeomorfismo e os fatos básicos sobre composições e inversas de aplicações contínuas. Em termos intuitivos, a propriedade de ser homogêneo é preservada por homeomorfismos porque um homeomorfismo dá uma “tradução” completa entre as estruturas topológicas de M e N; tudo que você pode fazer em M (mover pontos por automorfismos) pode ser traduzido para N e vice-versa.

Resposta

M é homogêneo se, e somente se, N é homogêneo.

Exercícios relacionados