Um espaço métrico
se diz homogêneo se para quaisquer
existe um homeomorfismo
tal que
.
Mostre que um espaço cuja métrica é a zero-um é homogêneo.
Mostre que um espaço cuja métrica é a zero-um é homogêneo.
Passo 1
O enunciado pede para provar que um espaço métrico
- A definição de homogêneo: para quaisquer
tal que
.
Portanto, precisamos, para dados arbitrários
, construir uma aplicação
bijetiva e contínua com contínua inversa e que envie
em
.]
Passo 2
Trato primeiro o caso trivial
.
Se , basta tomar
igual à identidade em
, isto é,
para todo
. A identidade é bijetiva, contínua e sua inversa é ela mesma, logo é um homeomorfismo e satisfaz
. Assim o caso
está resolvido.
Se
Passo 3
Agora suponho
Note que por construção (f(a)=b], que é o que queremos.]
Passo 4
Mostro que
é bijetiva.
- Injetividade: se
, consideramos casos. Se então pela definição esses valores só ocorrem de maneira consistente com igual a ou , e checando os casos vê-se que . Se então e , daí . Assim é injetiva. (Mais simples: é uma permutação que troca apenas e , então é injetiva.) - Sobreatividade: para qualquer
existe com : se então ; se então ; se então . Logo é sobrejetiva.
Portantoé bijetiva e tem inversa bem definida.
Passo 5
Mostro que
preserva distâncias, isto é, é uma isometria: para quaisquer
vale
Prova por casos:
- Se
então . Como é injetiva, e então . Logo igualdade nesse caso. - Se
então . Como é injetiva, , logo . Assim novamente .
Portanto para todo partemos , ou seja, é isometria.
Passo 6
Concluo que
é contínua e que sua inversa
também é contínua. Explico por que: em espaços métricos, qualquer isometria (mapa que preserva distâncias) é automaticamente contínua porque, dados
e
, basta tomar
e, pela preservação de distâncias,
o que é exatamente a definição
-
de continuidade. Como
é bijetiva e a inversa
é a mesma permutação que troca
e
(ou seja,
), a inversa também é isometria e, portanto, contínua. Assim
é um homeomorfismo.
Passo 7
Juntando os casos: se
usei a identidade; se
usei a transposição
que troca
e
e fixa os demais pontos. Em ambos os casos construí um homeomorfismo
com
. Portanto, para quaisquer
existe um homeomorfismo levando
em
.
Resposta
Definindo
por
,
e
para
, obtemos um homeomorfismo
com
. Logo
é homogêneo.