Um espaço métrico M se diz homogêneo se para quaisquer a, b \in M existe um homeomorfismo f: M \longrightarrow M tal que f(a)=b.
Mostre que um espaço cuja métrica é a zero-um é homogêneo.

Passo 1

O enunciado pede para provar que um espaço métrico M\) cuja métrica é a zero-um é homogêneo. Informações dadas e o que se pede: - A métrica é a zero-um, ou seja, para quaisquer \(x,y\in M\) temos \[d(x,y)=\begin{cases} 0 & \text{se } x=y,\\[4pt] 1 & \text{se } x\neq y. \end{cases}
  • A definição de homogêneo: para quaisquer a,b\in M\] deve existir um homeomorfismo \(f:M\longrightarrow M tal que f(a)=b.
Portanto, precisamos, para dados arbitrários a,b\in M, construir uma aplicação f bijetiva e contínua com contínua inversa e que envie a em b.]

Passo 2

Trato primeiro o caso trivial a=b.
Se a=b, basta tomar f igual à identidade em M, isto é, f(x)=x para todo x\in M. A identidade é bijetiva, contínua e sua inversa é ela mesma, logo é um homeomorfismo e satisfaz f(a)=a=b. Assim o caso a=b está resolvido.

Passo 3

Agora suponho a\neq b\). Vou construir uma função simples que troca \(a\) e \(b\) e fixa todos os outros pontos. Defino \(f:M\longrightarrow M\) por \[f(x)=\begin{cases} b & \text{se } x=a,\\[4pt] a & \text{se } x=b,\\[4pt] x & \text{se } x\neq a,b. \end{cases}
Note que por construção (f(a)=b], que é o que queremos.]

Passo 4

Mostro que f é bijetiva.
  • Injetividade: se f(x)=f(y), consideramos casos. Se f(x)\in\{a,b\} então pela definição esses valores só ocorrem de maneira consistente com x igual a a ou b, e checando os casos vê-se que x=y. Se f(x)\notin\{a,b\} então f(x)=x e f(y)=y, daí x=y. Assim f é injetiva. (Mais simples: f é uma permutação que troca apenas a e b, então é injetiva.)
  • Sobreatividade: para qualquer z\in M existe x\in M com f(x)=z: se z=b então x=a; se z=a então x=b; se z\notin\{a,b\} então x=z. Logo f é sobrejetiva.
    Portanto f é bijetiva e tem inversa bem definida.

Passo 5

Mostro que f preserva distâncias, isto é, é uma isometria: para quaisquer x,y\in M vale
d\bigl(f(x),f(y)\bigr)=d(x,y).
Prova por casos:
  • Se x=y então d(x,y)=0. Como f é injetiva, f(x)=f(y) e então d(f(x),f(y))=0. Logo igualdade nesse caso.
  • Se x\neq y então d(x,y)=1. Como f é injetiva, f(x)\neq f(y), logo d(f(x),f(y))=1. Assim novamente d(f(x),f(y))=d(x,y).
    Portanto para todo par x,y temos d(f(x),f(y))=d(x,y), ou seja, f é isometria.

Passo 6

Concluo que f é contínua e que sua inversa f^{-1} também é contínua. Explico por que: em espaços métricos, qualquer isometria (mapa que preserva distâncias) é automaticamente contínua porque, dados \varepsilon>0 e x\in M, basta tomar \delta=\varepsilon e, pela preservação de distâncias,
d(x,y)<\delta \implies d\bigl(f(x),f(y)\bigr)=d(x,y)<\varepsilon,
o que é exatamente a definição \varepsilon- \delta de continuidade. Como f é bijetiva e a inversa f^{-1} é a mesma permutação que troca a e b (ou seja, f^{-1}=f), a inversa também é isometria e, portanto, contínua. Assim f é um homeomorfismo.

Passo 7

Juntando os casos: se a=b usei a identidade; se a\neq b usei a transposição f que troca a e b e fixa os demais pontos. Em ambos os casos construí um homeomorfismo f:M\to M com f(a)=b. Portanto, para quaisquer a,b\in M existe um homeomorfismo levando a em b.

Resposta

Definindo f por f(a)=b, f(b)=a e f(x)=x para x\neq a,b, obtemos um homeomorfismo f:M\to M com f(a)=b. Logo M é homogêneo.

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