No espaço vetorial \mathbb{R}^{3} consideremos os seguintes subespaços vetoriais:
\begin{aligned} & S=[(1,-1,2),(2,1,1)] ; \\\ & T=[(0,1,-1),(1,2,1)] ; \\\ & U=\{(x, y, z) \mid x+y=4 x-z=0\} ; \\\ & V=\{(x, y, z) \mid 3 x-y-z=0\} . \end{aligned}
Determine as dimensões de: S, T, U, V, S + T, S \cap T, T+U e T \cap U.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes subespaços de \mathbb{R}^3 (peguei exatamente os vetores e equações do enunciado):
  • S=\operatorname{span}\{(1,-1,2),(2,1,1)\}.
  • T=\operatorname{span}\{(0,1,-1),(1,2,1)\}.
  • U=\{(x,y,z)\mid x+y=0,\;4x-z=0\}.
  • V=\{(x,y,z)\mid 3x-y-z=0\}.
O que o enunciado pede: determinar as dimensões de
S,\; T,\; U,\; V,\; S+T,\; S\cap T,\; T+U,\; T\cap U.
Observações iniciais (dados que vou usar sem perguntar mais): nas equações de U interpreto que são duas equações homogêneas x+y=0 e 4x-z=0 (assim U é realmente um subespaço). Vou usar, quando necessário, a definição de dimensão como o número de vetores de uma base (número máximo de vetores linearmente independentes) e a fórmula de Grassmann
\dim(A+B)=\dim A+\dim B-\dim(A\cap B).

Passo 2

Dimensão de [S).
Lição rápida: dois vetores em \mathbb{R}^3 geram um subespaço de dimensão 1 ou 2. São de dimensão 2 exatamente quando são linearmente independentes.
Teste de independência: procuramos a,b\in\mathbb{R} tais que
a(1,-1,2)+b(2,1,1)=(0,0,0).
Escrevendo coordenada a coordenada obtemos o sistema
\begin{cases} a+2b=0,\\[4pt] - a + b =0,\\[4pt] 2a + b =0. \end{cases}
Da segunda equação temos b=a\]. Substituindo na primeira: \(a+2a=3a=0\Rightarrow a=0, então b=0. Só existe solução trivial, logo os vetores são linearmente independentes.
Conclusão: \dim(S)=2.]

Passo 3

Dimensão de [T).
Mesmo raciocínio: suponha c,d\in\mathbb{R} com
c(0,1,-1)+d(1,2,1)=(0,0,0).
Sistema:
\begin{cases} d=0,\\[4pt] c+2d=0,\\[4pt] - c + d =0. \end{cases}
Da primeira equação d=0\]. Então da segunda \(c+0=0\Rightarrow c=0. Só solução trivial, então os vetores são independentes.
Conclusão: \dim(T)=2.]

Passo 4

Dimensão de U.
Vamos resolver as equações de U:
x+y=0,\qquad 4x-z=0.
Escolho parâmetro s=x. Então y=-x=-s e z=4x=4s. Assim todo vetor de U tem a forma
(x,y,z)=s(1,-1,4).
Isto mostra que U é uma reta através da origem, gerada pelo vetor (1,-1,4). Portanto a base pode ser \{(1,-1,4)\}.
Conclusão: \dim(U)=1.

Passo 5

Dimensão de V.
Equação de V:
3x-y-z=0.
Isto é uma única restrição linear homogênea em \mathbb{R}^3. Uma restrição independente reduz a dimensão por 1, logo V é um plano de dimensão 2. Para ficar concreto, podemos parametrizar: seja x=s e z=t. Então y=3s-t e
(x,y,z)=s(1,3,0)+t(0,-1,1),
logo \{(1,3,0),(0,-1,1)\} é um gerador com 2 vetores independentes.
Conclusão: \dim(V)=2.

Passo 6

Dimensão de S\cap T (e S+T em seguida).
Estratégia explicada: para encontrar \dim(S\cap T) uso a relação entre dimensões quando se toma a união dos geradores. Se eu formar a matriz cujas colunas são os vetores geradores de S e de T, a classificação dessa matriz (posto) me diz a dimensão do espaço gerado por todos esses vetores; daí uso a fórmula de Grassmann no formato
\dim(S\cap T)=\dim S+\dim T-\dim\big(\operatorname{span}(S\cup T)\big).
Os vetores (colunas) são
s_1=(1,-1,2),\quad s_2=(2,1,1),\quad t_1=(0,1,-1),\quad t_2=(1,2,1).
Formo a matriz A=[s_1\\ s_2\\ t_1\\ t_2] e calculo o posto por eliminação:
Matriz inicial (linhas iguais às coordenadas):
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1\\[4pt] -1 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 2 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Operações (mostrando passos):
  • R_2\leftarrow R_2+R_1\Rightarrow (0,3,1,3).
  • R_3\leftarrow R_3-2R_1\Rightarrow (0,-3,-1,-1).
    Agora:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 3 & 1 & 3\\[4pt] 0 & -3 & -1 & -1 \end{pmatrix}.
  • R_3\leftarrow R_3+R_2\Rightarrow (0,0,0,2).
Agora há uma linha com entrada não nula (na coluna 4). Portanto o posto é 3 (há 3 linhas linearmente independentes). Assim
\dim\big(\operatorname{span}(S\cup T)\big)=3.
Aplicando Grassmann:
\dim(S\cap T)=\dim S+\dim T-3=2+2-3=1.
Complemento (encontrar um vetor da interseção, útil na prova): da eliminação obtém-se uma relação linear não trivial entre as colunas. De fato verifica-se que
s_2-2s_1=3t_1,
logo s_2-2s_1=(0,3,-3)=3(0,1,-1). Isso mostra que (0,1,-1)\in S\cap T, e a interseção é a reta gerada por (0,1,-1).
Finalmente, por Grassmann,
\dim(S+T)=\dim\big(\operatorname{span}(S\cup T)\big)=3.
Conclusões: \dim(S\cap T)=1 e \dim(S+T)=3.]

Passo 7

Dimensão de [T\cap U) e T+U.
Como U é uma reta gerada por (1,-1,4), basta verificar se esse vetor pertence ao subespaço T. Procuramos a,b tais que
a(0,1,-1)+b(1,2,1)=(1,-1,4).
Escrevendo coordenadas:
\begin{cases} b=1,\\[4pt] a+2b=-1,\\[4pt] - a + b =4. \end{cases}
Da primeira b=1\]. Da segunda \(a+2=-1\Rightarrow a=-3. Verificando a terceira: -(-3)+1=3+1=4, consistente. Logo existe solução, então (1,-1,4)\in T. Portanto U\subseteq T.
Se U\subseteq T, então T\cap U=U (o encontro é U) e T+U=T. Assim
\dim(T\cap U)=\dim(U)=1,\qquad \dim(T+U)=\dim(T)=2.]

Resposta

\dim(S)=2
\dim(T)=2
\dim(U)=1
\dim(V)=2
\dim(S+T)=3
\dim(S\cap T)=1
\dim(T+U)=2
\dim(T\cap U)=1

Exercícios relacionados