Calcular volume dos domínios dados V no espaço tridimensional:
V=\left\{(x, y, z): z \leq 6 -x^{2}-y^{2} \wedge x^{2}+y^{2} \leq z^{2}\right\}.

Passo 1

O enunciado dá o domínio tridimensional
V=\{(x,y,z): z \leq 6 - x^{2}-y^{2}\\ \wedge\\ x^{2}+y^{2}\leq z^{2}\}.
O que é pedido: calcular o volume do conjunto V.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A primeira desigualdade é z \leq 6 - x^{2}-y^{2}.
  • A segunda desigualdade é x^{2}+y^{2}\leq z^{2}.
  • Não há nenhuma outra restrição explícita sobre x,y,z.

Passo 2

Vou reescrever as desigualdades em coordenadas cilíndricas porque elas simplificam expressões com x^{2}+y^{2}. Lembrete rápido sobre coordenadas cilíndricas:
  • x = r\cos\theta,
  • y = r\sin\theta,
  • z = z (mantém-se igual),
  • o jacobiano (elemento de volume) é dV = r\,dz\,dr\,d\theta,
    com r\ge 0, \theta\in[0,2\pi) e z\in\mathbb{R}.
Agora converto as desigualdades usando r^{2}=x^{2}+y^{2}:
  • z \leq 6 - r^{2}.
  • r^{2} \leq z^{2}, que é equivalente a r \leq |z|.
Portanto, em coordenadas cilíndricas o conjunto é
V=\{(r,\theta,z):\\\ 0\le r,\\\ 0\le\theta<2\pi,\\ z\le 6-r^{2},\\ r\le |z|\}.

Passo 3

A condição r\le |z| sugere separar os casos z\ge 0 e z<0.
Caso 1: z\ge 0. Então |z|=z e a condição vira
r \le z \quad\text{e}\quad z \le 6 - r^{2}.
Isto significa, para cada r\ge 0, que z deve satisfazer r \le z \le 6 - r^{2}. Para que exista algum z com r \le z \le 6 - r^{2} é necessário que r \le 6 - r^{2}. Vou resolver essa desigualdade para achar o intervalo admissível de r:
r \le 6 - r^{2} \quad\Longleftrightarrow\quad r^{2}+r-6 \le 0.
Resolve-se a quadrática: as raízes de r^{2}+r-6=0 são
r=\frac{-1\pm\sqrt{1+24}}{2}=\frac{-1\pm5}{2}.
As raízes são r=-3 e r=2, então na região r\ge 0 a desigualdade vale para 0\le r\le 2. Assim, no ramo z\ge 0 obtemos um conjunto com r\in[0,2] e, para cada r, z\in[r,\,6-r^{2}]. Essa parte é claramente limitada em z.
Caso 2: z<0. Então |z|=-z e a condição vira
r \le -z \quad\text{ou}\quad z \le -r.
Juntando com z\le 6-r^{2}, para z<0 temos que z deve satisfazer
z \le \min(-r,\\\ 6-r^{2}).
Isto significa que, para cada r\ge 0, os valores permitidos de z são todos os z menores ou iguais a \min(-r,6-r^{2}); não há nenhuma condição inferior (ou seja, z pode ficar arbitrariamente negativo), salvo se \min(-r,6-r^{2}) for -\infty (o que não acontece). Para concluir se essa parte gera volume finito ou infinito, preciso comparar -r com 6-r^{2}.

Passo 4

Determino para quais r temos -r \le 6 - r^{2} (ou seja, -r é o limite superior mais restritivo do que 6-r^{2}). Resolvo
-r \le 6 - r^{2} \quad\Longleftrightarrow\quad r^{2}-r-6 \le 0.
As raízes de r^{2}-r-6=0 são
r=\frac{1\pm\sqrt{1+24}}{2}=\frac{1\pm5}{2},
portanto as raízes são r=-2 e r=3. No domínio r\ge 0 a desigualdade vale para 0\le r\le 3. Logo, para todo r\in[0,3] tem-se -r \le 6 - r^{2}, e assim
\min(-r,6-r^{2}) = -r \quad\text{para } 0\le r\le 3.
Isto implica que, para qualquer r\in(0,3] e qualquer \theta, os z admissíveis incluem todos os valores z\le -r. Ou seja, para cada tal r o intervalo admissível em z é (-\infty,\,-r], que é ilimitado para baixo.

Passo 5

Mostro que a existência desses r com intervalo semi-infinito em z faz o volume divergir. Considere a parte do domínio correspondente a r entre dois valores fixos, por exemplo r\in[1,2] (esse intervalo está contido em [0,3], então valerá o fato acima). Para essa faixa de r e todo \theta\in[0,2\pi) temos que z pode variar por (-\infty,-r]. Então a contribuição de volume dessa sub-região é
\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=1}^{2}\int_{z=-\infty}^{-r} r\,dz\,dr\,d\theta.
Calculo a integral interna em z de forma formal usando um limite:
\int_{z=-\infty}^{-r} r\,dz = \lim_{M\to\infty}\int_{z=-M}^{-r} r\,dz = \lim_{M\to\infty} r\bigl((-r)-(-M)\bigr) = \lim_{M\to\infty} r(M-r) = +\infty,
para qualquer r>0. Portanto a integral tripla acima diverge para +\infty; logo o volume total de V é infinito.
(Em palavras: para cada fatia circular de raio r com 1\le r\le 2 existe uma coluna vertical de altura infinita para baixo que pertence a V; integrar essas colunas sobre \theta e r dá volume infinito.)

Passo 6

Como já existe uma sub-região de V com volume infinito, o volume total de V não é finito. Não é necessário calcular a parte positiva detalhadamente — mesmo que a parte com z\ge 0 fosse finita, a contribuição negativa torna o volume total infinito.

Resposta

\infty

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