Calcular volume dos domínios dados V no espaço tridimensional:
.
Passo 1
O enunciado dá o domínio tridimensional
O que é pedido: calcular o volume do conjunto
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A primeira desigualdade é
. - A segunda desigualdade é
. - Não há nenhuma outra restrição explícita sobre
.
Passo 2
Vou reescrever as desigualdades em coordenadas cilíndricas porque elas simplificam expressões com
. Lembrete rápido sobre coordenadas cilíndricas:
-
, -
, -
(mantém-se igual), - o jacobiano (elemento de volume) é
,
com, e .
Agora converto as desigualdades usando
:
-
. -
, que é equivalente a .
Portanto, em coordenadas cilíndricas o conjunto é
Passo 3
A condição
sugere separar os casos
e
.
Caso 1:
. Então
e a condição vira
Isto significa, para cada
, que
deve satisfazer
. Para que exista algum
com
é necessário que
. Vou resolver essa desigualdade para achar o intervalo admissível de
:
Resolve-se a quadrática: as raízes de
são
As raízes são
e
, então na região
a desigualdade vale para
. Assim, no ramo
obtemos um conjunto com
e, para cada
,
. Essa parte é claramente limitada em
.
Caso 2:
. Então
e a condição vira
Juntando com
, para
temos que
deve satisfazer
Isto significa que, para cada
, os valores permitidos de
são todos os
menores ou iguais a
; não há nenhuma condição inferior (ou seja,
pode ficar arbitrariamente negativo), salvo se
for
(o que não acontece). Para concluir se essa parte gera volume finito ou infinito, preciso comparar
com
.
Passo 4
Determino para quais
temos
(ou seja,
é o limite superior mais restritivo do que
). Resolvo
As raízes de
são
portanto as raízes são
e
. No domínio
a desigualdade vale para
. Logo, para todo
tem-se
, e assim
Isto implica que, para qualquer
e qualquer
, os
admissíveis incluem todos os valores
. Ou seja, para cada tal
o intervalo admissível em
é
, que é ilimitado para baixo.
Passo 5
Mostro que a existência desses
com intervalo semi-infinito em
faz o volume divergir. Considere a parte do domínio correspondente a
entre dois valores fixos, por exemplo
(esse intervalo está contido em
, então valerá o fato acima). Para essa faixa de
e todo
temos que
pode variar por
. Então a contribuição de volume dessa sub-região é
Calculo a integral interna em
de forma formal usando um limite:
para qualquer
. Portanto a integral tripla acima diverge para
; logo o volume total de
é infinito.
(Em palavras: para cada fatia circular de raio
com
existe uma coluna vertical de altura infinita para baixo que pertence a
; integrar essas colunas sobre
e
dá volume infinito.)
Passo 6
Como já existe uma sub-região de
com volume infinito, o volume total de
não é finito. Não é necessário calcular a parte positiva detalhadamente — mesmo que a parte com
fosse finita, a contribuição negativa torna o volume total infinito.