A espessura de chapas de aço produzidas por uma indústria segue distribuição normal com média 5 mm e desvio padrão 0,2 \mathrm{~mm}. As chapas são consideradas defeituosas se tiverem espessura inferior a 4,7 \mathrm{~mm} ou superior a 5,3 \mathrm{~mm}. Qual a porcentagem de chapas defeituosas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
  • A espessura X das chapas segue distribuição normal com média \mu=5\\ \mathrm{mm} e desvio padrão \sigma=0,2\\ \mathrm{mm}.
  • Uma chapa é considerada defeituosa se X<4,7\\ \mathrm{mm} ou X>5,3\\ \mathrm{mm}.
  • O que se pede: calcular a porcentagem de chapas defeituosas (ou seja, P(X<4,7)+P(X>5,3)).

Passo 2

Estratégia que vamos aplicar (sem excesso de formalidade): transformar a variável X numa variável normal padrão Z para poder usar a tabela da normal padrão. A fórmula de padronização é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde:
  • X é a espessura (mm),
  • \mu é a média ( 5\\ \mathrm{mm}),
  • \sigma é o desvio padrão ( 0,2\\ \mathrm{mm}),
  • Z tem distribuição normal padrão com média 0 e desvio 1.
Explicação rápida: padronizar traduz a posição de X em unidades de desvios-padrão; assim, probabilidades de X viram probabilidades de Z que estão nas tabelas.

Passo 3

Calcular os valores de Z correspondentes às fronteiras 4,7 e 5,3:
Z_{\text{baixa}}=\frac{4,7-5}{0,2}=\frac{-0,3}{0,2}=-1,5,
Z_{\text{alta}}=\frac{5,3-5}{0,2}=\frac{0,3}{0,2}=1,5.

Passo 4

Expressar a probabilidade de defeito em termos de Z:
P(\text{defeito})=P(X<4,7)+P(X>5,3)=P\big(Z<-1,5\big)+P\big(Z>1,5\big).
Pela simetria da normal padrão, P(Z<-1,5)=P(Z>1,5). Portanto
P(\text{defeito})=2\cdot P\big(Z>1,5\big).

Passo 5

Usar a tabela (ou calculadora) da normal padrão: o valor da função distribuição acumulada é aproximadamente
\Phi(1,5)=P(Z\le 1,5)\approx 0,93319.
Assim
P(Z>1,5)=1-\Phi(1,5)\approx 1-0,93319=0,06681.
Logo
P(\text{defeito})=2\cdot 0,06681=0,13362.

Passo 6

Interpretação e observação final sobre o número obtido: a probabilidade de uma chapa ser defeituosa é 0,13362 (ou seja, cerca de uma em cada oito chapas). É um valor relativamente alto; se quiser reduzir, a indústria teria que apertar controle de processo (diminuir sigma) ou ajustar média.

Resposta

\approx 13{,}36\%

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