O tempo de vida de uma lâmpada especial segue distribuição normal com média 1200 horas e desvio padrão 150 horas. Se a empresa deseja dar garantia para
das lâmpadas, qual deve ser o tempo mínimo de garantia oferecido?
Passo 1
Vou separar o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos:
- Tempo de vida
das lâmpadas segue distribuição normal com média horas e desvio padrão horas. - A empresa quer garantir
das lâmpadas.
O que o enunciado pede:
- Encontrar o tempo mínimo de garantia
(em horas) tal que das lâmpadas tenham vida útil maior ou igual a .
Passo 2
Entendendo o que significa garantir
. Garantir
quer dizer que a probabilidade de uma lâmpada durar pelo menos
horas deve ser
. Em termos de probabilidade:
Como
, isso equivale a:
Ou seja,
é o percentil de ordem
(o primeiro decil) da distribuição de
.
Passo 3
Para trabalhar com a normal usamos a padronização. Se
, então a variável padrão
tem distribuição normal padrão
. Assim a condição
vira
Chamando
o quantil de nível
da normal padrão (ou seja,
), temos
e portanto
Passo 4
Agora precisamos do valor de
. Usando tabela da normal padrão ou função inversa da normal, o quantil correspondente a
é aproximadamente
(Isto significa que
da área da normal padrão fica à esquerda de
.)
Passo 5
Substituindo os números na fórmula
:
Calcule passo a passo:
portanto
Passo 6
Interpretando e arredondando: como garantia costuma ser dada em horas inteiras, arredondamos para o valor prático. Arredondando para a hora mais próxima,
Isso significa que cerca de
das lâmpadas durarão pelo menos
horas.