O tempo de vida de uma lâmpada especial segue distribuição normal com média 1200 horas e desvio padrão 150 horas. Se a empresa deseja dar garantia para 90 \% das lâmpadas, qual deve ser o tempo mínimo de garantia oferecido?

Passo 1

Vou separar o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos:
  • Tempo de vida X das lâmpadas segue distribuição normal com média \mu=1200 horas e desvio padrão \sigma=150 horas.
  • A empresa quer garantir 90\% das lâmpadas.
O que o enunciado pede:
  • Encontrar o tempo mínimo de garantia g (em horas) tal que 90\% das lâmpadas tenham vida útil maior ou igual a g.

Passo 2

Entendendo o que significa garantir 90\%. Garantir 90\% quer dizer que a probabilidade de uma lâmpada durar pelo menos g horas deve ser 0,90. Em termos de probabilidade:
P(X \ge g) = 0,90.
Como P(X \ge g)=1-P(X \le g), isso equivale a:
P(X \le g)=0,10.
Ou seja, g é o percentil de ordem 10\% (o primeiro decil) da distribuição de X.

Passo 3

Para trabalhar com a normal usamos a padronização. Se X\sim N(\mu,\sigma), então a variável padrão
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}
tem distribuição normal padrão N(0,1). Assim a condição P(X \le g)=0,10 vira
P\!\left(Z \le \frac{g-\mu}{\sigma}\right)=0,10.
Chamando z_{0,10} o quantil de nível 0,10 da normal padrão (ou seja, P(Z\le z_{0,10})=0,10), temos
\frac{g-\mu}{\sigma}=z_{0,10}
e portanto
g=\mu+\sigma\cdot z_{0,10}.

Passo 4

Agora precisamos do valor de z_{0,10}. Usando tabela da normal padrão ou função inversa da normal, o quantil correspondente a 0,10 é aproximadamente
z_{0,10}\approx -1,2816.
(Isto significa que 10\% da área da normal padrão fica à esquerda de -1,2816.)

Passo 5

Substituindo os números na fórmula g=\mu+\sigma\cdot z_{0,10}:
g = 1200 + 150 \cdot (-1,2816).
Calcule passo a passo:
150 \cdot 1,2816 = 192,24\quad(\text{aproximadamente}),
portanto
g \approx 1200 - 192,24 = 1007,76\\ \text{horas}.

Passo 6

Interpretando e arredondando: como garantia costuma ser dada em horas inteiras, arredondamos para o valor prático. Arredondando para a hora mais próxima,
g \approx 1008\\ \text{horas}.
Isso significa que cerca de 90\% das lâmpadas durarão pelo menos 1008 horas.

Resposta

1008 horas

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