Uma espira quadrada de lado L é percorrida por uma corrente I
a) Determine, em módulo, direção e sentido, o campo B(z) num ponto P situado sobre o eixo da espira (reta perpendicular ao seu plano passando pelo centro O da espira) à distância z de O
b) Interprete o resultado obtido para z gg L

Passo 1

O enunciado pede o campo magnético B(z) de uma espira quadrada de lado L percorrida por corrente I, em um ponto P situado sobre o eixo perpendicular ao plano da espira que passa pelo seu centro O, à distância z de O. Vamos usar a lei de Biot–Savart
dB=mu0I4pi,delltimesrr^3
para calcular a contribuição de um dos lados e, por simetria, multiplicar por 4.

Passo 2

Escolhemos o eixo z perpendicular ao plano da espira, com origem em O. Considere um lado paralelo ao eixo y, localizado em x=+L/2, de y=-L/2 a y=+L/2. Um elemento dell=dy,jmath em (L/2,y,0) e o ponto P=(0,0,z) geram
r=(-L/2),imath-y,jmath+z,k,
delltimesr=(L/2),dy,k;-;z,dy,imath
Desse produto, apenas o componente ao longo de k contribui para Bz:
dBz =mu0I4pi,(L/2),dyl[(L/2)^2+y^2+z^2r]^3/2

Passo 3

Integramos y de -L/2 a +L/2 e multiplicamos por 4 (os quatro lados são iguais):
Bz =4cdotmu0I4pi,L2 integral-L/2^L/2dyl[(L/2)^2+y^2+z^2r]^3/2
usar
integraldu(u^2+a^2)^3/2 =ua^2raizu^2+a^2,
com a^2=(L/2)^2+z^2, leva a
Bz =mu0I,L^22pil(z^2+(L/2)^2r)raizz^2+(L/raiz2)^2

Passo 4

Pelo sentido da corrente e pela regra da mão direita, o vetor campo aponta ao longo de k (eixo +z) se a corrente for no sentido anti-horário vista de cima. Logo
B(z) = Bz,k com Bz =mu0I,L^2 2pil(z^2+(L/2)^2r)raizz^2+(L/raiz2)^2

Passo 5

Para zgg L tem-se z^2+(L/2)^2approx z^2 e raizz^2+(L/raiz2)^2approx z, de modo que
Bzapproxmu0I,L^22pi,z^3,
que decai como 1/z^3 característico de um dipolo magnético de momento m=I,L^2.

Resposta

boxed B(z) =mu0I,L^2 2pil(z^2+(L/2)^2r)raizz^2+(L/raiz2)^2;k
Para zgg L: Bzapproxmu0I,L^2/(2pi z^3).

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