(Meyer, 1987: C06E14) Suponha que a f d p conjunta de ( X, Y ) seja dada por:
f(x, y)=l e^-y, y>x>0 0, para quaisquer outros valores
(a) Ache a f d p marginal de X.
(b) Ache a f d p marginal de Y.
(c) Calcule a P(X>2 mid Y<4)

Passo 1

O enunciado nos dá a densidade conjunta de
Precisamos achar as densidades marginais de e, por fim, calcular
. Vamos usar integração nas faixas indicadas para obter cada marginal e depois aplicar a definição de probabilidade condicional.

Passo 2

Para a marginal de X, integramos f(x,y) em y de y=x até y=infty:
fX(x) =integraly=x^inftye^-y,dy =l[-e^-yr]y=x^y=infty =e^-x, x>0

Passo 3

Para a marginal de Y, integramos f(x,y) em x de x=0 até x=y:
fY(y) =integralx=0^ye^-y,dx =y,e^-y, y>0

Passo 4

Antes de calcular a probabilidade condicional, precisamos de P(Y<4). Usamos fY(y):
P(Y<4) =integral0^4y,e^-y,dy
Fazendo integração por partes ou usando tabela de integrais,
integral0^4y,e^-y,dy =1-5e^-4,
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P(Y<4)=1-5e^-4

Passo 5

Agora calculamos P(X>2,Y<4). O evento X>2,Y<4 equivale a 2<x<y<4, então
P(X>2,Y<4) =integralx=2^4integraly=x^4e^-y,dy,dx =integral2^4l[e^-x-e^-4r]dx =l[e^-2-e^-4r]-2e^-4 =e^-2-3e^-4

Passo 6

Finalmente, a probabilidade condicional é
P(X>2mid Y<4) =P(X>2,Y<4)P(Y<4) =e^-2-3e^-41-5e^-4

Resposta

(a) fX(x)=e^-x, x>0
(b) fY(y)=y,e^-y, y>0
(c) P(X>2mid Y<4)=e^-2-3e^-41-5e^-4

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