A estabilidade é um dos grandes problemas em sistemas de controle linear. Um dos critérios mais simples para prever a estabilidade de um sistema é conhecido como critério de estabilidade de Routh.
Sobre o critério de estabilidade de Routh, é correto afirmar que ele
a) não pode ser aplicado em equações polinomiais.
b) descobre as raízes do sistema, sejam elas reais ou imaginárias.
c) descobre se existem raízes reais positivas sem resolver a equação.

Passo 1

O enunciado pede para escolher qual das alternativas sobre o critério de Routh é correta. As alternativas são:
a) não pode ser aplicado em equações polinomiais.
b) descobre as raízes do sistema, sejam elas reais ou imaginárias.
c) descobre se existem raízes reais positivas sem resolver a equação.
O que se pede: identificar qual dessas três afirmações é correta.

Passo 2

O que o critério de Routh faz (explicação didática, passo a passo curto e intuitivo).
  • Objetivo prático: dado um polinômio característico de um sistema linear (um polinômio com coeficientes reais em s), o critério de Routh permite descobrir quantas raízes desse polinômio têm parte real positiva (ou seja, quantas raízes estão no semiplano direito do plano complexo) sem calcular explicitamente as raízes.
  • Como informação útil: para estabilidade em tempo contínuo, queremos que todas as raízes tenham parte real negativa. O critério de Routh indica quantas raízes têm parte real positiva verificando as mudanças de sinal na primeira coluna de uma tabela construída a partir dos coeficientes do polinômio.
  • Limitação importante: o critério NÃO fornece os valores numéricos das raízes (não “descobre as raízes” no sentido de resolver a equação). Ele apenas conta quantas raízes têm parte real positiva.
Vou agora explicar como se constrói a tabela e mostrar um exemplo simples para fixar a ideia.

Passo 3

Como construir a tabela de Routh (regra prática e fórmula usada).
Considere um polinômio genérico de grau n:
p(s)=a_n s^n + a_{n-1}s^{n-1}+\cdots + a_1 s + a_0,
com a_n>0 (se não, pode-se multiplicar por -1). A tabela de Routh começa assim:
  • Primeira linha (linha s^n): coloque a_n, a_{n-2}, a_{n-4}, \dots.
  • Segunda linha (linha s^{n-1}): coloque a_{n-1}, a_{n-3}, a_{n-5}, \dots.
Para montar cada elemento da linha seguinte usa-se a fórmula (para elementos da primeira coluna e demais colunas, a regra é a mesma em forma matricial):
Se a linha superior imediata é r_{k-1,1}, r_{k-1,2}, \dots e a linha de cima dessa é r_{k-2,1}, r_{k-2,2}, \dots, então os elementos da nova linha r_{k, j} são
r_{k,j}=\frac{1}{r_{k-1,1}}\big(r_{k-1,1}\,r_{k-2,j+1} - r_{k-2,1}\,r_{k-1,j+1}\big).
  • O que importa para o critério é a primeira coluna: conte quantas mudanças de sinal ocorrem ao percorrer a primeira coluna de cima para baixo. Esse número é exatamente o número de raízes de p(s) com parte real positiva.
Observações práticas:
  • Se uma linha inteira se torna zero, há um procedimento especial (construir um polinômio auxiliar a partir da linha anterior e derivá-lo); isso indica raízes simétricas sobre o eixo imaginário (ex.: pares imaginários puros).
  • Se algum elemento que aparece no denominador for zero, substitui-se por um pequeno \varepsilon>0 e toma-se o limite; há procedimentos padronizados para tratar esses casos na prova.

Passo 4

Exemplo numérico curto (para ver na prática e fixar):
Considere p(s)=s^3+2s^2+3s+4. Vou construir a tabela de Routh de forma simples (mostrando só os passos relevantes).
  • Coeficientes: a_3=1, a_2=2, a_1=3, a_0=4.
Tabela inicial (apenas mostrando as primeiras duas linhas):
linha s^3: 1 \quad 3
linha s^2: 2 \quad 4
Agora a entrada da linha s^1 na primeira coluna é, pela fórmula para cúbicos,
b_1=\frac{2\cdot 3 - 1\cdot 4}{2}=\frac{6-4}{2}=1.
A linha s^1 fica 1 \quad 0 (segunda coluna vira zero porque não há mais coeficiente). A linha s^0 é simplesmente 4.
Primeira coluna: 1,\;2,\;1,\;4. Não há mudança de sinal (tudo positivo), então o polinômio tem 0 raízes com parte real positiva — isto é, estável (no sentido de RHP).
Com isso vemos duas coisas importantes:
  • o critério contou quantas raízes têm parte real positiva (neste exemplo: nenhuma),
  • mas não nos deu os valores das raízes (não resolveu a equação).

Passo 5

Avaliação de cada alternativa com base na explicação:
a) “não pode ser aplicado em equações polinomiais.” — falso. O critério de Routh é exatamente um procedimento aplicado a polinômios (ao polinômio característico). Logo a) é incorreta.
b) “descobre as raízes do sistema, sejam elas reais ou imaginárias.” — falso. O critério não fornece os valores das raízes (não resolve o polinômio). Ele apenas informa quantas raízes têm parte real positiva. Então b) é incorreta.
c) “descobre se existem raízes reais positivas sem resolver a equação.” — entendido no sentido usual de provas de controle: o critério permite saber se há raízes com parte real positiva (ou seja, raízes no semiplano direito) sem calcular explicitamente as raízes. Portanto, interpretando a frase como “descobre se existem raízes com parte real positiva sem resolver a equação”, a afirmativa é correta. Observação de nuance: o critério conta raízes com parte real positiva — elas podem ser reais positivas ou pares complexos com parte real positiva; o critério informa apenas a existência e a quantidade no semiplano direito, sem distinguir se são reais ou complexas. Mesmo assim, no contexto típico da pergunta de estabilidade, a alternativa c) é a correta (ela afirma que o critério detecta existência de raízes ‘positivas’ sem resolver o polinômio).

Passo 6

Conclusão final: a alternativa correta, no sentido prático e usual do critério de Routh, é a letra c).

Resposta

c)

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