Uma estação elevatória deve recalcar 2.160 \mathrm{~m}^{3} \cdot \mathrm{dia}^{-1} desde um reservatório com o nível na cota de 100,00 para um reservatório na cota 133,00 através de uma canalização com 3 km de comprimento (aço galvanizado, f=0,040 ). Sendo 15 horas o tempo de trabalho da instalação. Calcule a potência da bomba necessária.
OBS: Considere rendimento de 75 \% da bomba e considere o efeito das perdas locais em comprimento virtual de canalização:
\begin{aligned} & \text { Sucção } \quad\left\{\begin{array}{l} =1 \text { válvula de pé com crivo }=65 \mathrm{~m} ; \\\ =1 \text { curva de } 90^{\circ}=3 \mathrm{~m} ; \\\ =1 \text { registro de gaveta }=1,7 \mathrm{~m} ; \end{array}\right. \\\ & \text { Recalque }\left\{\begin{array}{l} =1 \text { registro de gaveta }=1,7 \mathrm{~m} ; \\\ =1 \text { válvula de retenção }=20 \mathrm{~m} ; \\\ =3 \text { curvas de } 90^{\circ}=6 \mathrm{~m}(\text { total }) ; \\\ =\text { Saída da tubulação }=7,5 \mathrm{~m} . \end{array}\right. \end{aligned}çãáéáçãíçã

Passo 1

O enunciado pede para calcular a potência da bomba necessária para recalcar um volume de água de 2.160\\ \mathrm{m}^{3} por dia, elevando-o da cota 100,00 para a cota 133,00 (logo, elevação estática de 33\\ \mathrm{m} ), através de uma tubulação de 3\\ \mathrm{km} com perda por atrito caracterizada por f=0{,}040. O tempo de funcionamento diário da instalação é de 15 horas; a bomba tem rendimento (eficiência) de 75\%. Foram dados, também, os comprimentos equivalentes das perdas locais (na sucção e no recalque) que devem ser somados ao comprimento da tubulação como comprimento virtual.
Informações relevantes extraídas do enunciado (vou listar exatamente os números usados):
\begin{aligned} &\text{Vazão diária: }2160\\ \mathrm{m^{3}/dia}.\\\ &\text{Tempo de bombeamento: }15\\ \mathrm{h/dia}.\\\ &\text{Cotas: sucção }100{,}00\\ \text{ e recalque }133{,}00\Rightarrow\text{ carga estática }=33\\ \mathrm{m}.\\\ &\text{Comprimento da tubulação (reta): }L=3000\\ \mathrm{m}.\\\ &\text{Fator de atrito (Darcy): }f=0{,}040.\\\ &\text{Perdas locais (equivalentes fornecidos no enunciado):}\\\ &\quad\text{Sucção: }65+3+1{,}7=69{,}7\\ \mathrm{m}.\\\ &\quad\text{Recalque: }1{,}7+20+6+7{,}5=35{,}2\\ \mathrm{m}.\\\ &\quad\text{Total perdas locais (equiv.): }69{,}7+35{,}2=104{,}9\\ \mathrm{m}. \end{aligned}ãáçãáçãçã
Observação: o enunciado não fornece o diâmetro interno da tubulação. Para prosseguir com o cálculo das perdas por atrito via fórmula de Darcy–Weisbach é necessário um diâmetro; então, por não poder pedir informação extra, escolherei um diâmetro comercial plausível e justificarei a escolha no próximo passo.

Passo 2

Calcular a vazão de projeto (vazão instantânea enquanto a bomba está ligada). Como o volume diário 2160\\ \mathrm{m^{3}} é bombeado em 15 horas, a vazão média durante o funcionamento é
Q=\frac{2160\\ \mathrm{m^{3}}}{15\\ \mathrm{h}}=\frac{2160}{15}\\ \mathrm{m^{3}/h}=144\\ \mathrm{m^{3}/h}.
Converter para \mathrm{m^{3}/s} (pois as fórmulas dinâmicas usam segundos):
Q=\frac{144}{3600}\\ \mathrm{m^{3}/s}=0{,}04\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 3

Escolha do diâmetro e justificativa (obrigatório pois não foi fornecido). Em problemas práticos de recalque com tubulação de aço galvanizado e vazões da ordem de 0{,}04\\ \mathrm{m^{3}/s}, costuma-se escolher diâmetros que gerem velocidades entre 1 e 3\\ \mathrm{m/s} (equilíbrio entre custo, perda de carga e erosão/ruído). Vou adotar um diâmetro interno comercial razoável D=0{,}15\\ \mathrm{m} (150 mm), que proporciona velocidade dentro dessa faixa. Depois verifico a justificativa com o número de Reynolds e a plausibilidade do fator f dado.

Passo 4

Calcular a área da seção e a velocidade média no tubo:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}=\frac{\pi (0{,}15)^{2}}{4}=\pi\cdot 0{,}005625\approx 0{,}0176715\\ \mathrm{m^{2}}.
V=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}04}{0{,}0176715}\approx 2{,}2639\\ \mathrm{m/s}.
Comentário: a velocidade 2{,}26\\ \mathrm{m/s} está dentro da faixa recomendada 1\!-\!3\\ \mathrm{m/s}, então D=0{,}15\\ \mathrm{m} é uma escolha razoável.

Passo 5

Calcular o comprimento equivalente total da tubulação (tubo + perdas locais convertidas em comprimento):
L_{\text{eq}} = L + L_{\text{loc}} = 3000 + 104{,}9 = 3104{,}9\\ \mathrm{m}.
Esse valor foi obtido somando o comprimento físico 3000\\ \mathrm{m} com os comprimentos equivalentes das perdas locais listados no enunciado (já somei os itens da sucção e do recalque como indicado).

Passo 6

Fórmula de Darcy–Weisbach para perda de carga por atrito total na tubulação (usando comprimento equivalente):
h_{f}=f\cdot\frac{L_{\text{eq}}}{D}\cdot\frac{V^{2}}{2g}.
Explicando cada termo:
  • h_{f} é a perda de carga por atrito (em metros de coluna de água).
  • f é o fator de atrito de Darcy (adimensional), dado 0{,}040.
  • L_{\text{eq}} é o comprimento equivalente total (m).
  • D é o diâmetro interno (m).
  • V é a velocidade média (m/s).
  • g é a aceleração da gravidade ( 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}).
    Agora substituímos os valores:
\frac{V^{2}}{2g}=\frac{(2{,}2639)^{2}}{2\cdot 9{,}81}\approx 0{,}2613\\ \mathrm{m}.
\frac{L_{\text{eq}}}{D}=\frac{3104{,}9}{0{,}15}\approx 20\,699{,}333.
h_{f}=0{,}040\cdot 20\,699{,}333\cdot 0{,}2613\approx 216{,}35\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Calcular a carga total que a bomba deve fornecer (carga estática + perdas por atrito):
H_{\text{total}} = H_{\text{estática}} + h_{f} = 33 + 216{,}35 \approx 249{,}35\\ \mathrm{m}.á
Comentário: esta é a altura d’água efetiva que a bomba deve vencer.

Passo 8

Calcular a potência hidráulica entregue pela bomba (potência útil hidráulica):
P_{\text{hid}}=\rho g Q H_{\text{total}},
onde \rho é a densidade da água ( 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}). Substituindo:
P_{\text{hid}}=1000\cdot 9{,}81\cdot 0{,}04\cdot 249{,}35 \approx 97\,843\\ \mathrm{W}\approx 97{,}84\\ \mathrm{kW}.
Explicação: esta é a potência necessária para empurrar a água considerando a elevação total; é a potência hidráulica.

Passo 9

Considerar o rendimento (eficiência) da bomba para obter a potência no eixo (potência que o motor deve fornecer ao eixo da bomba). Se a bomba tem rendimento \eta=75\%=0{,}75,
P_{\text{eixo}}=\frac{P_{\text{hid}}}{\eta}=\frac{97\,843}{0{,}75}\approx 130\,458\\ \mathrm{W}\approx 130{,}46\\ \mathrm{kW}.
Comentário: normalmente escolhe-se um motor com potência comercial ligeiramente superior (por exemplo, motor de 132\\ \mathrm{kW} ou 150\\ \mathrm{kW}, dependendo da disponibilidade e fatores de segurança), mas o cálculo indica que o eixo precisa de cerca de 130{,}5\\ \mathrm{kW}.

Passo 10

Verificação de consistência (Reynolds e plausibilidade do f dado): calcular o número de Reynolds para checar se o fluxo é turbulento (justificando o uso de f dado).
\mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu}\quad\text{(com }\mu\approx 1{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}\text{ para água a 20°C).}á
\mathrm{Re}\approx \frac{1000\cdot 2{,}2639\cdot 0{,}15}{1{,}0\times 10^{-3}}\approx 339{,}600.
Esse valor indica regime fortemente turbulento, então usar um fator de atrito do tipo empírico/adiabático faz sentido. O f=0{,}040 é plausível para tubulação de aço galvanizado com essa rugosidade e esse regime.

Passo 11

Resumo e arredondamento final: potência no eixo da bomba calculada P_{\text{eixo}}\approx 130{,}46\\ \mathrm{kW}. Como resultado prático, selecione-se um motor comercial imediatamente acima (por exemplo 132\\ \mathrm{kW} ou 150\\ \mathrm{kW}), e considerar também rendimento do motor e margem de segurança no projeto.

Resposta

130{,}46\\ \mathrm{kW}

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