Uma estação elevatória deve recalcar 2.160 \mathrm{~m}^{3} \cdot \mathrm{dia}^{-1} desde um reservatório com o nível na cota de 100,00 para um reservatório na cota 133,00 através de uma canalização com 3 km de comprimento (aço galvanizado, f=0,040 ). Sendo 15 horas o tempo de trabalho da instalação. Calcule a potência da bomba necessária.
OBS: Considere rendimento de 75 \% da bomba e considere o efeito das perdas locais em comprimento virtual de canalização:
\begin{aligned} & \text { Sucção } \quad\left\{\begin{array}{l} =1 \text { válvula de pé com crivo }=65 \mathrm{~m} ; \\\ =1 \text { curva de } 90^{\circ}=3 \mathrm{~m} ; \\\ =1 \text { registro de gaveta }=1,7 \mathrm{~m} ; \end{array}\right. \\\ & \text { Recalque }\left\{\begin{array}{l} =1 \text { registro de gaveta }=1,7 \mathrm{~m} ; \\\ =1 \text { válvula de retenção }=20 \mathrm{~m} ; \\\ =3 \text { curvas de } 90^{\circ}=6 \mathrm{~m}(\text { total }) ; \\\ =\text { Saída da tubulação }=7,5 \mathrm{~m} . \end{array}\right. \end{aligned}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a potência da bomba necessária para recalcar um volume de água de 2.160\\ \mathrm{m}^{3} por dia, elevando-o da cota 100,00 para a cota 133,00 (logo, elevação estática de 33\\ \mathrm{m} ), através de uma tubulação de 3\\ \mathrm{km} com perda por atrito caracterizada por f=0{,}040. O tempo de funcionamento diário da instalação é de 15 horas; a bomba tem rendimento (eficiência) de 75\%. Foram dados, também, os comprimentos equivalentes das perdas locais (na sucção e no recalque) que devem ser somados ao comprimento da tubulação como comprimento virtual.
Informações relevantes extraídas do enunciado (vou listar exatamente os números usados):
Observação: o enunciado não fornece o diâmetro interno da tubulação. Para prosseguir com o cálculo das perdas por atrito via fórmula de Darcy–Weisbach é necessário um diâmetro; então, por não poder pedir informação extra, escolherei um diâmetro comercial plausível e justificarei a escolha no próximo passo.
Passo 2
Calcular a vazão de projeto (vazão instantânea enquanto a bomba está ligada). Como o volume diário 2160\\ \mathrm{m^{3}} é bombeado em 15 horas, a vazão média durante o funcionamento é
Escolha do diâmetro e justificativa (obrigatório pois não foi fornecido). Em problemas práticos de recalque com tubulação de aço galvanizado e vazões da ordem de 0{,}04\\ \mathrm{m^{3}/s}, costuma-se escolher diâmetros que gerem velocidades entre 1 e 3\\ \mathrm{m/s} (equilíbrio entre custo, perda de carga e erosão/ruído). Vou adotar um diâmetro interno comercial razoável D=0{,}15\\ \mathrm{m} (150 mm), que proporciona velocidade dentro dessa faixa. Depois verifico a justificativa com o número de Reynolds e a plausibilidade do fator f dado.
Passo 4
Calcular a área da seção e a velocidade média no tubo:
Comentário: a velocidade 2{,}26\\ \mathrm{m/s} está dentro da faixa recomendada 1\!-\!3\\ \mathrm{m/s}, então D=0{,}15\\ \mathrm{m} é uma escolha razoável.
Passo 5
Calcular o comprimento equivalente total da tubulação (tubo + perdas locais convertidas em comprimento):
Esse valor foi obtido somando o comprimento físico 3000\\ \mathrm{m} com os comprimentos equivalentes das perdas locais listados no enunciado (já somei os itens da sucção e do recalque como indicado).
Passo 6
Fórmula de Darcy–Weisbach para perda de carga por atrito total na tubulação (usando comprimento equivalente):
Explicação: esta é a potência necessária para empurrar a água considerando a elevação total; é a potência hidráulica.
Passo 9
Considerar o rendimento (eficiência) da bomba para obter a potência no eixo (potência que o motor deve fornecer ao eixo da bomba). Se a bomba tem rendimento \eta=75\%=0{,}75,
Comentário: normalmente escolhe-se um motor com potência comercial ligeiramente superior (por exemplo, motor de 132\\ \mathrm{kW} ou 150\\ \mathrm{kW}, dependendo da disponibilidade e fatores de segurança), mas o cálculo indica que o eixo precisa de cerca de 130{,}5\\ \mathrm{kW}.
Passo 10
Verificação de consistência (Reynolds e plausibilidade do f dado): calcular o número de Reynolds para checar se o fluxo é turbulento (justificando o uso de f dado).
\mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu}\quad\text{(com }\mu\approx 1{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}\text{ para água a 20°C).}á
Esse valor indica regime fortemente turbulento, então usar um fator de atrito do tipo empírico/adiabático faz sentido. O f=0{,}040 é plausível para tubulação de aço galvanizado com essa rugosidade e esse regime.
Passo 11
Resumo e arredondamento final: potência no eixo da bomba calculada P_{\text{eixo}}\approx 130{,}46\\ \mathrm{kW}. Como resultado prático, selecione-se um motor comercial imediatamente acima (por exemplo 132\\ \mathrm{kW} ou 150\\ \mathrm{kW}), e considerar também rendimento do motor e margem de segurança no projeto.