Recozimento é um processo no qual o aço é reaquecido e depois resfriado a fim de torná-lo menos quebradiço. Considere o estágio de reaquecimento para uma placa de aço de 100 mm de espessura, a qual está a uma temperatura uniforme de
e deve ser aquecida a uma temperatura mínima de
. O aquecimento é efetuado em um forno a gás, onde os produtos de combustão a
mantêm um coeficiente de convecção
nas duas superfícies da placa. Quanto tempo a placa deverá ser deixada no forno?
Passo 1
O que o problema pede: determinar quanto tempo a placa deve ficar no forno para que sua temperatura mínima atinja
.
Informações dadas no enunciado:
Observação importante (assumida porque o enunciado não especificou propriedades térmicas do aço): vou usar propriedades térmicas típicas do aço carbono:
Se o seu professor usar outros valores, os passos abaixo continuam válidos; só substitua os números apropriados.
Decisão prática sobre o que precisa ser calculado: como o aquecimento por convecção é nas duas faces, o ponto que atinge a temperatura desejada por último é o centro da placa. Logo vamos calcular o tempo necessário para que a temperatura no centro chegue a
.
Passo 2
Escolha do método (sem muitos jargões): para problemas transientes de condução em uma chapa (placa) com convecção nas superfícies, primeiro verificamos se podemos usar o método simples de capacidade térmica uniforme (modelo lumped). Isso depende do número de Biot:
onde
é o meio-espessura da placa (meio da espessura porque a placa é simétrica). Aqui a espessura total é
, logo
Calculemos
:
Regra prática: se
o modelo lumped é aceitável; aqui
, portanto a temperatura na placa NÃO é praticamente uniforme durante o aquecimento e temos que usar a solução de condução transiente unidimensional para placa com convecção nas faces (série de autovalores ou primeira termo da série).
Passo 3
Apresentando a solução que vamos usar (sem medo): para uma placa plana simétrica com convecção nas duas superfícies, a solução para a temperatura no centro
(o ponto mais frio durante o aquecimento) é, em termos adimensionais,
onde:
-
é o número de Fourier (medida do tempo adimensional), -
é a difusividade térmica, -
são os autovalores que satisfazem a equação transcendental
- os coeficientes são
Na prática, a soma infinita converge rápido e, para muitos problemas de aquecimento/resfriamento, a aproximação com o primeiro termo (
) fornece boa precisão para os tempos moderados/longos que nos interessam. Vamos usar a aproximação de primeiro termo:
Explicando as intenções: calculamos
a partir da equação transcendental, obtemos
, definimos a razão adimensional entre
e os extremos de temperatura e resolvemos para
, depois voltamos para o tempo
.
Passo 4
Calculemos a difusividade térmica
:
Façamos a conta:
Passo 5
Determinação do primeiro autovalor
resolvendo
Não existe expressão fechada; resolvemos numericamente por tentativa (ou método de Newton). Vou mostrar tentativas simples:
Raiz entre
e
. Refinando:
Tomamos
Passo 6
Calculemos o coeficiente
:
Avaliações numéricas (usando
):
Agora
Comentário físico:
próximo de
é comum quando o Biot é relativamente pequeno; isso só influencia ligeiramente o valor do expoente.
Passo 7
Coloquemos o objetivo na forma adimensional e resolvamos para
.
Queremos que o centro atinja
. A razão adimensional é
Calculemos
com
e
:
Usando a aproximação de um termo:
Isolando
:
Substituindo números (
):
Passo 8
Voltando ao tempo dimensional
:
Substituindo
,
,
:
Calculemos:
Interpretação final: com as propriedades assumidas do aço e usando a aproximação de primeiro termo da solução transiente da placa, a placa precisa ficar aproximadamente
(cerca de
minutos) no forno para que o centro alcance
. Isso garante que toda a placa tenha pelo menos
(já que o centro é o ponto mais lento a aquecer).