O estado plano de tensão indicado ocorre em um componente de máquina feito de um aço com σ_{E}=248,2 \mathrm{MPa}. Usando o critério da energia de distorção máxima, verifique se ocorre escoamento quando
τ_{x y}=124,1 \mathrm{MPa} e. Caso o escoamento não ocorra, determine o coeficiente de segurança correspondente.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se ocorre escoamento usando o critério da energia de distorção máxima (critério de von Mises) e, caso não ocorra, determinar o coeficiente de segurança correspondente. As informações dadas (retirei diretamente da figura) são:
\sigma_x = 20,7\\ \mathrm{MPa},
\sigma_y = 82,7\\ \mathrm{MPa} e
\tau_{xy} = 124,1\\ \mathrm{MPa}.
Também foi fornecido o limite de escoamento do aço:
\sigma_{E} = 248,2\\ \mathrm{MPa}.

Passo 2

O que é o critério da energia de distorção máxima (von Mises) e qual a fórmula em estado plano de tensão?
  • Intuitivamente: o critério de von Mises diz que o material escoa quando a energia de distorção acumulada atinge o mesmo nível que no escoamento simples (ensaio de tração). É o critério mais usado para metais dúcteis.
  • Em termos práticos, para um estado plano de tensão (isto é, \sigma_z=0) a tensão equivalente de von Mises é dada por:
\sigma_{vm} = \sqrt{\sigma_x^2 + \sigma_y^2 - \sigma_x\sigma_y + 3\tau_{xy}^2}.
Aqui:
  • \sigma_x é a tensão normal na direção x (MPa);
  • \sigma_y é a tensão normal na direção y (MPa);
  • \tau_{xy} é a tensão de cisalhamento no plano xy (MPa);
  • \sigma_{vm} é a tensão equivalente de von Mises (MPa).
    O material escoa se \sigma_{vm} \ge \sigma_{E}. Se \sigma_{vm}<\sigma_{E}, o coeficiente de segurança pode ser tomado como
N = \frac{\sigma_{E}}{\sigma_{vm}}.

Passo 3

Substituímos os valores (retirados da figura) na fórmula e vamos calcular passo a passo:
\sigma_x = 20,7\\ \mathrm{MPa},
\sigma_y = 82,7\\ \mathrm{MPa},
\tau_{xy} = 124,1\\ \mathrm{MPa}.

Passo 4

Calculemos os termos individuais:
\sigma_x^2 = (20,7)^2 = 428,49\\ \mathrm{MPa}^2,
\sigma_y^2 = (82,7)^2 = 6\,839,29\\ \mathrm{MPa}^2,
\sigma_x\sigma_y = 20,7\times82,7 = 1\,711,89\\ \mathrm{MPa}^2,
\tau_{xy}^2 = (124,1)^2 = 15\,400,81\\ \mathrm{MPa}^2,
3\tau_{xy}^2 = 3\times15\,400,81 = 46\,202,43\\ \mathrm{MPa}^2.

Passo 5

Agora somamos conforme a fórmula de von Mises:
\sigma_{vm}^2 = \sigma_x^2 + \sigma_y^2 - \sigma_x\sigma_y + 3\tau_{xy}^2
\sigma_{vm}^2 = 428,49 + 6\,839,29 - 1\,711,89 + 46\,202,43 = 51\,758,32\\ \mathrm{MPa}^2.
Logo
\sigma_{vm} = \sqrt{51\,758,32}\approx 227,51\\ \mathrm{MPa}.

Passo 6

Comparação com o limite de escoamento:
\sigma_{vm}\approx 227,51\\ \mathrm{MPa}\quad\text{e}\quad \sigma_{E}=248,2\\ \mathrm{MPa}.
Como \sigma_{vm} < \sigma_{E}, não ocorre escoamento segundo o critério de von Mises.
Cálculo do coeficiente de segurança:
N=\frac{\sigma_{E}}{\sigma_{vm}}=\frac{248,2}{227,51}\approx 1,09.

Resposta

Não ocorre escoamento ( \sigma_{vm}\approx 227,51\\ \mathrm{MPa}<\sigma_{E}=248,2\\ \mathrm{MPa}).
Coeficiente de segurança: N\approx 1,09.

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