Considere uma onda longitudinal
u_{s}=u \cos (\omega t-s K a)
que se propaga em uma cadeia linear monoatômica de átomos de massa M, espaçamento a e interação entre vizinhos mais próximos C.
(a) Mostre que a energia total da onda é
E=\frac{1}{2} M \sum_{s}\left(d u_{s} / d t\right)^{2}+\frac{1}{2} C \sum_{s}\left(u_{s}-u_{s+1}\right)^{2} .
onde s se estende a todos os átomos.
(b) Substituindo u_{s} por seu valor nesta expressão, mostre que a energia média por átomo é dada por
\frac{1}{4} M \omega^{2} u^{2}+\frac{1}{2} C(1-\cos K a) u^{2}=\frac{1}{2} M \omega^{2} u^{2}
onde foi usada a relação de dispersão (9).

Passo 1

O enunciado dá uma onda longitudinal na cadeia monoatômica:
u_{s}=u \cos(\omega t - s K a),
onde s indexa os átomos (estende-se a todos os átomos), cada átomo tem massa M, o espaçamento entre átomos é a e a constante de interação (constante elástica entre vizinhos) é C.
As perguntas são duas:
  1. Mostrar que a energia total da onda pode ser escrita como
E=\frac{1}{2} M \sum_{s}\left(\frac{d u_{s}}{d t}\right)^{2}+\frac{1}{2} C \sum_{s}\left(u_{s}-u_{s+1}\right)^{2}.
  1. Substituindo u_{s} na expressão da energia, mostrar que a energia média por átomo é
\frac{1}{4} M \omega^{2} u^{2}+\frac{1}{2} C(1-\cos K a) u^{2}=\frac{1}{2} M \omega^{2} u^{2},
usando a relação de dispersão indicada (9).
Nada mais é pedido; vamos começar a resolver passo a passo.

Passo 2

Derivando a expressão da energia total (parte (a)). Primeiro, energia cinética: cada átomo s tem energia cinética
T_s=\frac{1}{2}M\left(\frac{d u_s}{dt}\right)^2,
porque para uma partícula de massa M com velocidade v a energia cinética é \tfrac12 M v^2. Somando sobre todos os átomos obtemos a contribuição cinética total
T=\sum_s \frac{1}{2}M\left(\frac{d u_s}{dt}\right)^2.
Agora, energia potencial elástica: cada par de vizinhos s e s+1 está ligado por uma “mola” com constante C. A energia elástica armazenada numa mola alongada por uma diferença \Delta é \tfrac12 C \Delta^2. Aqui a extensão da mola entre s e s+1 é \Delta = u_s - u_{s+1} (diferença de deslocamentos longitudinal). Assim a energia potencial do par s,s+1 é
V_{s,s+1}=\frac{1}{2}C(u_s-u_{s+1})^2.
Somando sobre todos os pares (isto é, sobre todos os s) obtemos a contribuição potencial total
V=\sum_s \frac{1}{2}C(u_s-u_{s+1})^2.
Somando T e V obtemos a energia total
E = T + V = \frac{1}{2} M \sum_{s}\left(\frac{d u_{s}}{d t}\right)^{2}+\frac{1}{2} C \sum_{s}\left(u_{s}-u_{s+1}\right)^{2},
que é exatamente a expressão pedida em (a). Observação rápida: contar as molas por índice s como acima conta cada mola uma vez, portanto não há outro fator.

Passo 3

Agora vamos calcular a energia média por átomo substituindo u_s (parte (b)). Começo pela energia cinética média por átomo. Primeiro derivada temporal de u_s:
\frac{d u_s}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(u\cos(\omega t - sKa)\bigr) = -u\omega \sin(\omega t - sKa).
O quadrado é
\left(\frac{d u_s}{dt}\right)^2 = u^2 \omega^2 \sin^2(\omega t - sKa).
Como a onda é harmônica no tempo, a média temporal de \sin^2 é \tfrac12. (Lembrete: a média temporal de \sin^2 ou \cos^2 sobre um período é \tfrac12.) Portanto a energia cinética média de um átomo é
\langle T_s\rangle = \frac{1}{2}M \langle \left(\frac{d u_s}{dt}\right)^2\rangle = \frac{1}{2}M \cdot u^2 \omega^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}M\omega^2 u^2.
Portanto a contribuição média cinética por átomo é \tfrac{1}{4}M\omega^2 u^2.

Passo 4

Agora a contribuição potencial média por átomo. Primeiro calcule a diferença entre deslocamentos vizinhos:
u_s - u_{s+1} = u\cos(\omega t - sKa) - u\cos(\omega t - (s+1)Ka).
Usamos a identidade trigonométrica
\cos A - \cos B = -2\sin\!\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\!\left(\frac{A-B}{2}\right).
Tomando A=\omega t - sKa e B=\omega t - (s+1)Ka temos A-B=Ka e \tfrac{A+B}{2}=\omega t - sKa - \tfrac{Ka}{2}. Assim
u_s - u_{s+1} = -2u \sin\!\left(\omega t - sKa - \tfrac{Ka}{2}\right)\sin\!\left(\tfrac{Ka}{2}\right).
Quadrando:
(u_s - u_{s+1})^2 = 4u^2 \sin^2\!\left(\tfrac{Ka}{2}\right)\sin^2\!\left(\omega t - sKa - \tfrac{Ka}{2}\right).
A média temporal de \sin^2(\omega t - \cdots) é \tfrac12, então a média temporal de (u_s-u_{s+1})^2 é
\langle (u_s - u_{s+1})^2\rangle = 4u^2 \sin^2\!\left(\tfrac{Ka}{2}\right)\cdot\frac{1}{2} = 2u^2 \sin^2\!\left(\tfrac{Ka}{2}\right).
Multiplicando pelo prefator \tfrac12 C da energia potencial por par, a energia potencial média por átomo (cada mola está entre dois átomos, mas ao somar sobre s e dividir por número de átomos fica homogêneo; alternativamente, por invariância de translação cada átomo “vê” a mesma contribuição média) é
\langle V_s\rangle = \frac{1}{2}C \langle (u_s-u_{s+1})^2\rangle = \frac{1}{2}C \cdot 2u^2 \sin^2\!\left(\tfrac{Ka}{2}\right) = C u^2 \sin^2\!\left(\tfrac{Ka}{2}\right).
Usando a identidade trigonométrica \sin^2\!\left(\tfrac{Ka}{2}\right)=\tfrac{1-\cos(Ka)}{2} obtemos
\langle V_s\rangle = C u^2 \cdot \frac{1-\cos(Ka)}{2} = \frac{1}{2}C(1-\cos Ka)u^2.

Passo 5

Somando as contribuições médias cinética e potencial por átomo, temos a energia média por átomo
\langle E_{\text{por átomo}}\rangle = \frac{1}{4}M\omega^2 u^2 + \frac{1}{2}C(1-\cos Ka)u^2,á
que é a expressão pedida no enunciado antes de usar a relação de dispersão. Até aqui calculamos as médias temporais usando as identidades trigonométricas e a propriedade \langle\sin^2\rangle=\tfrac12.

Passo 6

Agora usamos a relação de dispersão (9). A equação de movimento linear para a cadeia leva à relação de dispersão (que o enunciado manda usar):
\omega^2 = \frac{2C}{M}(1-\cos Ka).
Expliquei sem deduzir aqui (o enunciado permitiu usá-la). Multiplicando ambos os lados por \tfrac{1}{4}M u^2 obtemos
\frac{1}{4}M\omega^2 u^2 = \frac{1}{4}M \cdot \frac{2C}{M}(1-\cos Ka) u^2 = \frac{1}{2}C(1-\cos Ka)u^2.
Portanto a parcela cinética média \tfrac{1}{4}M\omega^2 u^2 é igual precisamente à parcela potencial média \tfrac{1}{2}C(1-\cos Ka)u^2. Somando-as:
\langle E_{\text{por átomo}}\rangle = \frac{1}{4}M\omega^2 u^2 + \frac{1}{2}C(1-\cos Ka)u^2 = \frac{1}{4}M\omega^2 u^2 + \frac{1}{4}M\omega^2 u^2 = \frac{1}{2}M\omega^2 u^2.á
Assim chegamos à igualdade final pedida.

Resposta

E=\frac{1}{2} M \sum_{s}\left(\frac{d u_{s}}{d t}\right)^{2}+\frac{1}{2} C \sum_{s}\left(u_{s}-u_{s+1}\right)^{2}
\frac{1}{4} M \omega^{2} u^{2}+\frac{1}{2} C(1-\cos K a) u^{2}=\frac{1}{2} M \omega^{2} u^{2}

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