Considere uma onda longitudinal
que se propaga em uma cadeia linear monoatômica de átomos de massa
, espaçamento
e interação entre vizinhos mais próximos
.
(a) Mostre que a energia total da onda é
onde
se estende a todos os átomos.
(b) Substituindo
por seu valor nesta expressão, mostre que a energia média por átomo é dada por
onde foi usada a relação de dispersão (9).
(a) Mostre que a energia total da onda é
(b) Substituindo
Passo 1
O enunciado dá uma onda longitudinal na cadeia monoatômica:
onde
indexa os átomos (estende-se a todos os átomos), cada átomo tem massa
, o espaçamento entre átomos é
e a constante de interação (constante elástica entre vizinhos) é
.
As perguntas são duas:
As perguntas são duas:
- Mostrar que a energia total da onda pode ser escrita como
- Substituindo
na expressão da energia, mostrar que a energia média por átomo é
usando a relação de dispersão indicada (9).
Nada mais é pedido; vamos começar a resolver passo a passo.
Nada mais é pedido; vamos começar a resolver passo a passo.
Passo 2
Derivando a expressão da energia total (parte (a)). Primeiro, energia cinética: cada átomo
tem energia cinética
porque para uma partícula de massa
com velocidade
a energia cinética é
. Somando sobre todos os átomos obtemos a contribuição cinética total
Agora, energia potencial elástica: cada par de vizinhos
e
está ligado por uma “mola” com constante
. A energia elástica armazenada numa mola alongada por uma diferença
é
. Aqui a extensão da mola entre
e
é
(diferença de deslocamentos longitudinal). Assim a energia potencial do par
é
Somando sobre todos os pares (isto é, sobre todos os
) obtemos a contribuição potencial total
Somando
e
obtemos a energia total
que é exatamente a expressão pedida em (a). Observação rápida: contar as molas por índice
como acima conta cada mola uma vez, portanto não há outro fator.
Passo 3
Agora vamos calcular a energia média por átomo substituindo
(parte (b)). Começo pela energia cinética média por átomo. Primeiro derivada temporal de
:
O quadrado é
Como a onda é harmônica no tempo, a média temporal de
é
. (Lembrete: a média temporal de
ou
sobre um período é
.) Portanto a energia cinética média de um átomo é
Portanto a contribuição média cinética por átomo é
.
Passo 4
Agora a contribuição potencial média por átomo. Primeiro calcule a diferença entre deslocamentos vizinhos:
Usamos a identidade trigonométrica
Tomando
e
temos
e
. Assim
Quadrando:
A média temporal de
é
, então a média temporal de
é
Multiplicando pelo prefator
da energia potencial por par, a energia potencial média por átomo (cada mola está entre dois átomos, mas ao somar sobre
e dividir por número de átomos fica homogêneo; alternativamente, por invariância de translação cada átomo “vê” a mesma contribuição média) é
Usando a identidade trigonométrica
obtemos
Passo 5
Somando as contribuições médias cinética e potencial por átomo, temos a energia média por átomo
que é a expressão pedida no enunciado antes de usar a relação de dispersão. Até aqui calculamos as médias temporais usando as identidades trigonométricas e a propriedade
.
Passo 6
Agora usamos a relação de dispersão (9). A equação de movimento linear para a cadeia leva à relação de dispersão (que o enunciado manda usar):
Expliquei sem deduzir aqui (o enunciado permitiu usá-la). Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Portanto a parcela cinética média
é igual precisamente à parcela potencial média
. Somando-as:
Assim chegamos à igualdade final pedida.