Considere os modos normais de uma cadeia linear em que as constantes de força entre vizinhos mais próximos sejam alternadamente
e
. Suponha que as massas são iguais e que a distância entre vizinhos mais próximos é
. Determine
em
e em
e faça um esboço da relação de dispersão. Este problema simula um cristal de moléculas diatômicas como o
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine as frequências normais
da cadeia linear com constantes de força alternadas
e
, massas iguais e distância entre vizinhos
. As perguntas concretas são:
- Calcular
em . - Calcular
em . - Fazer um esboço (qualitativo) da relação de dispersão
entre e .
Informações dadas e convenções que usarei (tudo do enunciado):
Vou tomar uma célula unitária de comprimento
contendo duas massas (uma “A” e uma “B”), separadas por
. A cadeia alterna as constantes de mola entre essas ligações (uma mola com constante
entre
e
e outra com
entre
e
). A resolução começa a partir dessas equações de movimento.
Passo 2
Escolha de incógnitas e escrita das equações de movimento.
Defino:
-
= deslocamento da massa A na célula . -
= deslocamento da massa B na célula .
A vizinhança é:
.
Forças lineares de mola (lei de Hooke) produzem para a massa
:
Explicando:
é a extensão da mola entre
e
;
é a extensão da mola entre
e
. Sinal negativo porque a força restitutiva aponta para reduzir a diferença. Analogamente para
:
Passo 3
Hipótese de onda de Bloch (fórmula de onda deslocamento periódico).
Para uma onda com número de onda
na rede de período
, usamos a forma de onda periódica (ansatz de Bloch):
onde
e
são amplitudes complexas (fase relativa entre sublattices). Observação:
e
.
Substituo essas formas nas EDOs e retiro o fator comum
.
Passo 4
Substituição e obtenção do sistema algébrico.
Substituindo, obtemos:
Rearranjando (passando sinais):
Em forma matricial:
Para termos não-triviais
o determinante dessa matriz deve ser zero.]
Passo 5
Cálculo do determinante e simplificação.
Determinante igual a zero dá:
Multiplico os termos complexos do produto:
Como
, isso é
Substituindo no determinante e simplificando (note o cancelamento de
) chega-se a:
Explicando o último termo: usei
para reescrever convenientemente.
Passo 6
Resolver a equação quadrática em
.
Coloco
. A equação fica:
Resolvendo a quadrática:
Simplificando a raiz:
Mais simplesmente (já simplificado antes):
Esse resultado fornece as duas bandas: o sinal menos dá a banda acústica (menor
) e o sinal mais a banda óptica (maior
).
Passo 7
Avaliação em
.
Em
temos
. Substituindo:
Logo as duas soluções são
Para nossos valores
e
isso dá
Passo 8
Avaliação em
.
Em
temos
. Substituindo na fórmula:
Note que
, então a raiz é
. Assim
Isto dá explicitamente
Com
e
obtemos
ou seja
Passo 9
Esboço qualitativo da relação de dispersão e interpretação física.
- Existem duas bandas (duas curvas) em
vs no intervalo : - Banda acústica (sinal menos): começa em
em e aumenta até em . - Banda óptica (sinal mais): começa em
em e decresce ligeiramente até em .
- Banda acústica (sinal menos): começa em
- Há uma faixa proibida (gap) entre o topo da banda acústica em
e o fundo da banda óptica em . Numericamente, o gap entre e é grande: as frequências de pico das duas bandas em ficam bem separadas. - O formato típico do esboço: no eixo horizontal
de a , a curva acústica parte de 0 com inclinação inicial finita e sobe até ; a curva óptica parte alta em e desce levemente até . Entre as duas curvas existe um intervalo em sem estados (o gap).
(Fica a dica: desenhe dois pontos em
e
com as alturas calculadas e ligue suavemente: uma curva crescente para acústica, outra decrescente para óptica.)