Considere os modos normais de uma cadeia linear em que as constantes de força entre vizinhos mais próximos sejam alternadamente C e 10 C. Suponha que as massas são iguais e que a distância entre vizinhos mais próximos é a / 2. Determine \omega(K) em K=0 e em K=\pi / a e faça um esboço da relação de dispersão. Este problema simula um cristal de moléculas diatômicas como o \mathrm{H}_{2}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine as frequências normais \omega(K) da cadeia linear com constantes de força alternadas C e 10C, massas iguais e distância entre vizinhos a/2. As perguntas concretas são:
  • Calcular \omega(K) em K=0.
  • Calcular \omega(K) em K=\pi/a.
  • Fazer um esboço (qualitativo) da relação de dispersão \omega(K) entre K=0 e K=\pi/a.
Informações dadas e convenções que usarei (tudo do enunciado):
k_1 = C,\qquad k_2 = 10C,\qquad \text{massas iguais } m,\qquad \text{distância entre vizinhos } = \frac{a}{2}.â
Vou tomar uma célula unitária de comprimento a contendo duas massas (uma “A” e uma “B”), separadas por a/2. A cadeia alterna as constantes de mola entre essas ligações (uma mola com constante k_1 entre A_n e B_n e outra com k_2 entre B_n e A_{n+1}). A resolução começa a partir dessas equações de movimento.

Passo 2

Escolha de incógnitas e escrita das equações de movimento.
Defino:
  • u_n(t) = deslocamento da massa A na célula n.
  • v_n(t) = deslocamento da massa B na célula n.
A vizinhança é: \cdots - B_{n-1} -[k_2]- A_n -[k_1]- B_n -[k_2]- A_{n+1} - \cdots.
Forças lineares de mola (lei de Hooke) produzem para a massa A_n:
m\ddot{u}_n = -k_1(u_n - v_n) - k_2(u_n - v_{n-1}).
Explicando: u_n-v_n é a extensão da mola entre A_n e B_n; u_n-v_{n-1} é a extensão da mola entre A_n e B_{n-1}. Sinal negativo porque a força restitutiva aponta para reduzir a diferença. Analogamente para B_n:
m\ddot{v}_n = -k_1(v_n - u_n) - k_2(v_n - u_{n+1}).

Passo 3

Hipótese de onda de Bloch (fórmula de onda deslocamento periódico).
Para uma onda com número de onda K na rede de período a, usamos a forma de onda periódica (ansatz de Bloch):
u_n(t) = U\,e^{i(K n a - \omega t)},\qquad v_n(t) = V\,e^{i(K n a - \omega t)},
onde U e V são amplitudes complexas (fase relativa entre sublattices). Observação: v_{n-1} = V e^{i(K(n-1)a -\omega t)} = V e^{-iKa} e^{i(K n a -\omega t)} e u_{n+1} = U e^{iKa} e^{i(K n a -\omega t)}.
Substituo essas formas nas EDOs e retiro o fator comum e^{i(K n a -\omega t)}.

Passo 4

Substituição e obtenção do sistema algébrico.
Substituindo, obtemos:
-m\omega^2 U = -k_1(U-V) - k_2\bigl(U - V e^{-iKa}\bigr),
-m\omega^2 V = -k_1(V-U) - k_2\bigl(V - U e^{iKa}\bigr).
Rearranjando (passando sinais):
m\omega^2 U = (k_1+k_2)U - k_1 V - k_2 V e^{-iKa},
m\omega^2 V = (k_1+k_2)V - k_1 U - k_2 U e^{iKa}.
Em forma matricial:
\begin{pmatrix} (k_1+k_2)-m\omega^2 & -\bigl(k_1 + k_2 e^{-iKa}\bigr)\\[6pt] -\bigl(k_1 + k_2 e^{iKa}\bigr) & (k_1+k_2)-m\omega^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}U\V\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Para termos não-triviais (U,V)\neq(0,0) o determinante dessa matriz deve ser zero.]

Passo 5

Cálculo do determinante e simplificação.
Determinante igual a zero dá:
\bigl((k_1+k_2)-m\omega^2\bigr)^2 - \bigl(k_1 + k_2 e^{-iKa}\bigr)\bigl(k_1 + k_2 e^{iKa}\bigr)=0.
Multiplico os termos complexos do produto:
\bigl(k_1 + k_2 e^{-iKa}\bigr)\bigl(k_1 + k_2 e^{iKa}\bigr) = k_1^2 + k_2^2 + k_1 k_2\bigl(e^{iKa}+e^{-iKa}\bigr).
Como e^{iKa}+e^{-iKa}=2\cos(Ka), isso é
k_1^2 + k_2^2 + 2 k_1 k_2 \cos(Ka).
Substituindo no determinante e simplificando (note o cancelamento de k_1^2+k_2^2) chega-se a:
m^2\omega^4 - 2m\omega^2 (k_1+k_2) + 4 k_1 k_2 \sin^2\!\bigl(\tfrac{Ka}{2}\bigr)=0.
Explicando o último termo: usei 1-\cos(Ka)=2\sin^2(\tfrac{Ka}{2}) para reescrever convenientemente.

Passo 6

Resolver a equação quadrática em x=m\omega^2.
Coloco x = m\omega^2. A equação fica:
x^2 - 2(k_1+k_2)x + 4 k_1 k_2 \sin^2\!\bigl(\tfrac{Ka}{2}\bigr) = 0.
Resolvendo a quadrática:
x = (k_1+k_2) \pm \sqrt{(k_1+k_2)^2 - 4\cdot 4 k_1 k_2 \sin^2\!\bigl(\tfrac{Ka}{2}\bigr)/4 }.
Simplificando a raiz:
m\omega^2 = (k_1+k_2) \pm \sqrt{(k_1+k_2)^2 - 4 k_1 k_2 \, \bigl(2\sin(\tfrac{Ka}{2})\bigr)^2/4 }.
Mais simplesmente (já simplificado antes):
\boxed{\,m\omega^2 = (k_1+k_2) \pm \sqrt{(k_1+k_2)^2 - 4 k_1 k_2 \, \sin^2\!\bigl(\tfrac{Ka}{2}\bigr)}\, }.
Esse resultado fornece as duas bandas: o sinal menos dá a banda acústica (menor \omega) e o sinal mais a banda óptica (maior \omega).

Passo 7

Avaliação em K=0.
Em K=0 temos \sin^2(\tfrac{Ka}{2})=\sin^2(0)=0. Substituindo:
m\omega^2 = (k_1+k_2)\pm \sqrt{(k_1+k_2)^2}=(k_1+k_2)\pm (k_1+k_2).
Logo as duas soluções são
m\omega^2 = 0 \quad\text{(acústica)}\qquad\text{e}\qquad m\omega^2 = 2(k_1+k_2)\quad\text{(óptica)}.úó
Para nossos valores k_1=C e k_2=10C isso dá
\omega(K=0) = 0 \quad\text{e}\quad \omega(K=0)=\sqrt{\dfrac{22C}{m}}.

Passo 8

Avaliação em K=\pi/a.
Em K=\pi/a temos \sin^2(\tfrac{Ka}{2})=\sin^2(\tfrac{\pi}{2})=1. Substituindo na fórmula:
m\omega^2 = (k_1+k_2)\pm \sqrt{(k_1+k_2)^2 - 4 k_1 k_2 }.
Note que (k_1+k_2)^2 -4 k_1 k_2 = (k_1-k_2)^2, então a raiz é |k_1-k_2|. Assim
m\omega^2 = (k_1+k_2) \pm |k_1-k_2|.
Isto dá explicitamente
m\omega^2 = 2\max(k_1,k_2)\quad\text{e}\quad m\omega^2 = 2\min(k_1,k_2).
Com k_1=C e k_2=10C obtemos
m\omega^2 = 20C \quad\text{e}\quad m\omega^2 = 2C,
ou seja
\omega(K=\tfrac{\pi}{a}) = \sqrt{\dfrac{20C}{m}}\quad\text{e}\quad \omega(K=\tfrac{\pi}{a}) = \sqrt{\dfrac{2C}{m}}.

Passo 9

Esboço qualitativo da relação de dispersão e interpretação física.
  • Existem duas bandas (duas curvas) em \omega vs K no intervalo 0\le K\le \pi/a:
    • Banda acústica (sinal menos): começa em \omega=0 em K=0 e aumenta até \omega=\sqrt{2C/m} em K=\pi/a.
    • Banda óptica (sinal mais): começa em \omega=\sqrt{22C/m} em K=0 e decresce ligeiramente até \omega=\sqrt{20C/m} em K=\pi/a.
  • Há uma faixa proibida (gap) entre o topo da banda acústica em K=\pi/a e o fundo da banda óptica em K=\pi/a. Numericamente, o gap entre \sqrt{2C/m} e \sqrt{20C/m} é grande: as frequências de pico das duas bandas em K=\pi/a ficam bem separadas.
  • O formato típico do esboço: no eixo horizontal K de 0 a \pi/a, a curva acústica parte de 0 com inclinação inicial finita e sobe até \sqrt{2C/m}; a curva óptica parte alta em \sqrt{22C/m} e desce levemente até \sqrt{20C/m}. Entre as duas curvas existe um intervalo em \omega sem estados (o gap).
(Fica a dica: desenhe dois pontos em K=0 e K=\pi/a com as alturas calculadas e ligue suavemente: uma curva crescente para acústica, outra decrescente para óptica.)

Resposta

\omega(K=0)=0
\omega(K=0)=\sqrt{\dfrac{22C}{m}}
\omega\bigl(K=\tfrac{\pi}{a}\bigr)=\sqrt{\dfrac{2C}{m}}
\omega\bigl(K=\tfrac{\pi}{a}\bigr)=\sqrt{\dfrac{20C}{m}}

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