Um estado plano de tensóes consiste de uma tensão de tração sigma0=56 MPa atuando em faces verticais onde são desconhecidas as tensōes de cisalhamento. Determinar: (a) a intensidade da tensão de cisalihamento tau0 que corresponde à tensảo normal de 56 MPa ; (b) a tensão máxima de cisalhamento. (A tensão de 70 MPa é a tensão normal máxima.)

Passo 1

Beleza, então o que o enunciado está dizendo é o seguinte: temos um estado plano de tensões em que, na face vertical do elemento, só sabemos a tensão normal de tração σ₀=56 MPa (e ainda não sabemos qual é a tensão de cisalhamento τ₀ ali). Além disso, foi dado que a maior tensão normal que aparece em qualquer plano (o principal máximo) é 70 MPa.
Conteúdo envolvido: Mohr, estado plano de tensões. Vamos usar a construção do círculo de Mohr para achar (a) o τ₀ naquela face vertical e (b) qual é a tensão máxima de cisalhamento. Não se preocupa se nunca viu Mohr direito: a gente vai fazer tudo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, relembrando a fórmula do círculo de Mohr para um estado plano com σₓ, σᵧ e τₓᵧ:
  1. Centro do círculo, C = (σₓ + σᵧ)/2
  2. Raio do círculo, R = √[ ((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ² ]
No nosso caso, a face vertical só tem tensão normal σₓ = 56 MPa e, como é estado plano, vamos tomar σᵧ = 0 MPa (nenhuma tensão normal nessa direção) e τₓᵧ = τ₀ (ainda desconhecida).
Logo:
C = (56 + 0)/2 = 28 MPa.

Passo 3

Sabemos também que a maior tensão normal (σ_max) corresponde ao ponto mais à direita do círculo de Mohr, isto é:
σ_max = C + R = 70 MPa.
Como C = 28 MPa, temos:
R = σ_max − C = 70 − 28 = 42 MPa.
Mas, por definição do raio,
R² = [ (σₓ − σᵧ)/2 ]² + τ₀²
⇒ 42² = [ (56 − 0)/2 ]² + τ₀²
⇒ 42² = 28² + τ₀²
⇒ τ₀² = 42² − 28² = 1764 − 784 = 980
⇒ τ₀ = √980 ≃ 31,3 MPa.

Passo 4

A tensão máxima de cisalhamento num estado plano é justamente o raio do círculo de Mohr, ou seja:
τ_max = R = 42 MPa.

Resposta

(a) τ₀ ≃ 31,3 MPa
(b) τ_max = 42 MPa

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