Dado o campo de deslocamentos:
u(X, Y, Z)=0,01 X^2 Y v(X, Y, Z)=0,003 Y Z w(X, Y, Z)=0,0002 X Z^3
em que X, Y e Z, bem como u, v e w, são medidos em metro, pede-se:
Calcular a deformação volumétrica no ponto P com base nas expressões compatíveis com o regime de pequenos deslocamentos, rotações e deformações.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um campo de deslocamentos em 3D
u(X,Y,Z)=0,01,X^2Y, v(X,Y,Z)=0,003,YZ, w(X,Y,Z)=0,0002,XZ^3
e pede a deformação volumétrica (ou dilatação) num ponto epsilonv = epsilonxx + epsilonyy + epsilonzz = partial upartial X + partial vpartial Y + partial wpartial Z .
Conteúdo: pequenas deformações em Mecânica dos Sólidos.
O que vamos usar: em regime de pequenas deformações, a deformação volumétrica é a soma das deformações normais, isto é

Passo 2

Vamos aplicar a definição de derivada parcial para cada componente:

Passo 3

Calculemos cada derivada:
1)
partial upartial X = partialpartial Xl(0,01,X^2Yr) = 0,01cdot 2X,Y =0,02,X,Y
partial vpartial Y = partialpartial Yl(0,003,Y,Zr) =0,003,Z
partial wpartial Z = partialpartial Zl(0,0002,X,Z^3r) =0,0002,Xcdot 3Z^2 =0,0006,X,Z^2

Resposta

Somando tudo, a deformação volumétrica em boxed epsilonv =partial upartial X+partial vpartial Y+partial wpartial Z =0,02,X,Y ;+;0,003,Z;+;0,0006,X,Z^2 é

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