- Para o estado de tensão dado, determine (a) os planos principais e (b) as tensões principais. (Respostas: (a)
, (b)
.).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- (a) determinar os planos principais (os ângulos dos planos onde as tensões normais são máximas/minimas);
- (b) determinar as tensões principais (os valores numéricos dessas tensões).
Informações relevantes extraídas da figura (peguei estes números da imagem):
- Uma tensão normal horizontal apontando para dentro no lado direito com valor
. - Uma tensão normal vertical apontando para dentro no lado superior com valor
. - Um esforço cortante atuando nos planos, com valor
(isto é, em módulo, conforme as setas de cisalhamento da figura).
Observação sobre sinais (apenas listando o que a figura mostra): as setas normais apontam para dentro do elemento, então tratei essas tensões normais como compressivas (valores negativos): assim
e
. O cisalhamento tomado é
(usar sinal positivo conforme a convenção adotada nas transformações).
Passo 2
Vamos organizar os valores em notação matemática, explicitando o significado de cada símbolo (isso facilita aplicar as fórmulas):
-
é a tensão normal sobre faces normais ao eixo . Da imagem peguei . -
é a tensão normal sobre faces normais ao eixo . Da imagem peguei . -
é o cisalhamento sobre a face normal a com componente no eixo . Da imagem peguei .
Lembrete conceitual rápido e intuitivo (sem jargões desnecessários):
- Tensões principais são os valores de tensão normal que aparecem quando se escolhe uma orientação em que o cisalhamento local é zero. São as raízes de uma equação quadrática (a chamada equação característica da matriz de tensões em 2D).
- Os ângulos dos planos principais são as orientações em relação ao eixo
onde essas tensões agem.
Passo 3
Fórmulas que vamos usar (explicadas e derivadas de forma direta):
- A média das tensões normais:
Aqui
é o ponto médio entre
e
, que desloca a “centro” da circunferência de Mohr.
- O raio da circunferência de Mohr (distância do centro até as tensões principais):
- As tensões principais são:
com
sendo a maior (menos compressiva / mais trativa) e
a menor (mais compressiva).
Agora aplicando os números passo a passo (contas detalhadas, sem pular etapas):
Primeiro a média:
Primeiro a média:
Agora a diferença meia:
Agora o raio:
Calcule a raiz (aproximação feita com passos simples):
Finalmente as tensões principais:
Interpretação rápida: ambas são compressivas (sinais negativos), mas uma é menos compressiva (
) e a outra é mais compressiva (
).
Passo 4
Agora vamos achar os ângulos dos planos principais. A fórmula usual para o ângulo
(medido a partir do eixo
positivo até o plano onde age
) é obtida da condição que anula o cisalhamento transformado; uma forma direta é:
Explicando cada termo:
aparece porque a transformação de tensões em 2D tem periodicidade de
(duas vezes o ângulo entra na tangente). A razão à direita mede o “tamanho” do cisalhamento relativo à diferença de normais.
Substituindo os valores:
Agora calculamos
:
Avaliação numérica (aproximação em graus):
logo
Esse é um dos planos principais. O outro plano principal difere em
(porque se uma orientação anula o cisalhamento, a orientação perpendicular também anula), então:
Observação sobre sinais e convenções: obtivemos
; dependendo de como o professor apresentar, pode preferir dar o equivalente positivo
, mas as respostas equivalentes são
e
. Esses dois ângulos correspondem às direções onde atuam
e
, respectivamente.
Passo 5
Verificação rápida (checagem por transformação direta) — maneira prática de checar que os números fazem sentido:
A fórmula de transformação para a tensão normal numa face girada de é
A fórmula de transformação para a tensão normal numa face girada de
Se escolhermos
e substituir, o termo da direita deve dar
; isso confirma que o ângulo e as tensões principais estão consistentes. (Este é um passo de verificação que mostra que os resultados anteriores batem com a transformação completa das tensões.)
Resposta
(a)
(b)
(b)