1. Para o estado de tensão dado, determine (a) os planos principais e (b) as tensões principais. (Respostas: (a) -37,0^{\circ}, 53.0^{\circ}, (b) -13,60 \mathrm{MPa},-86,4 \mathrm{MPa}.).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • (a) determinar os planos principais (os ângulos dos planos onde as tensões normais são máximas/minimas);
  • (b) determinar as tensões principais (os valores numéricos dessas tensões).
Informações relevantes extraídas da figura (peguei estes números da imagem):
  • Uma tensão normal horizontal apontando para dentro no lado direito com valor -60\\ \mathrm{MPa}.
  • Uma tensão normal vertical apontando para dentro no lado superior com valor -40\\ \mathrm{MPa}.
  • Um esforço cortante atuando nos planos, com valor 35\\ \mathrm{MPa} (isto é, \tau_{xy}=35\\ \mathrm{MPa} em módulo, conforme as setas de cisalhamento da figura).
Observação sobre sinais (apenas listando o que a figura mostra): as setas normais apontam para dentro do elemento, então tratei essas tensões normais como compressivas (valores negativos): assim \sigma_x=-60\\ \mathrm{MPa} e \sigma_y=-40\\ \mathrm{MPa}. O cisalhamento tomado é \tau_{xy}=35\\ \mathrm{MPa} (usar sinal positivo conforme a convenção adotada nas transformações).

Passo 2

Vamos organizar os valores em notação matemática, explicitando o significado de cada símbolo (isso facilita aplicar as fórmulas):
  • \sigma_x é a tensão normal sobre faces normais ao eixo x. Da imagem peguei \sigma_x = -60\\ \mathrm{MPa}.
  • \sigma_y é a tensão normal sobre faces normais ao eixo y. Da imagem peguei \sigma_y = -40\\ \mathrm{MPa}.
  • \tau_{xy} é o cisalhamento sobre a face normal a x com componente no eixo y. Da imagem peguei \tau_{xy} = 35\\ \mathrm{MPa}.
Lembrete conceitual rápido e intuitivo (sem jargões desnecessários):
  • Tensões principais são os valores de tensão normal que aparecem quando se escolhe uma orientação em que o cisalhamento local é zero. São as raízes de uma equação quadrática (a chamada equação característica da matriz de tensões em 2D).
  • Os ângulos dos planos principais são as orientações em relação ao eixo x onde essas tensões agem.

Passo 3

Fórmulas que vamos usar (explicadas e derivadas de forma direta):
  • A média das tensões normais:
\bar{\sigma} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}.
Aqui \bar{\sigma} é o ponto médio entre \sigma_x e \sigma_y, que desloca a “centro” da circunferência de Mohr.
  • O raio da circunferência de Mohr (distância do centro até as tensões principais):
R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}.
  • As tensões principais são:
\sigma_{1,2} = \bar{\sigma} \pm R,
com \sigma_1 sendo a maior (menos compressiva / mais trativa) e \sigma_2 a menor (mais compressiva).
Agora aplicando os números passo a passo (contas detalhadas, sem pular etapas):
Primeiro a média:
\bar{\sigma} = \frac{-60 + (-40)}{2} = \frac{-100}{2} = -50\\ \mathrm{MPa}.
Agora a diferença meia:
\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} = \frac{-60 - (-40)}{2} = \frac{-20}{2} = -10\\ \mathrm{MPa}.
Agora o raio:
R = \sqrt{(-10)^2 + 35^2} = \sqrt{100 + 1225} = \sqrt{1325}.
Calcule a raiz (aproximação feita com passos simples):
\sqrt{1325}\approx 36,4\\ \mathrm{MPa}.
Finalmente as tensões principais:
\sigma_1 = \bar{\sigma} + R = -50 + 36,4 = -13,6\\ \mathrm{MPa},
\sigma_2 = \bar{\sigma} - R = -50 - 36,4 = -86,4\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação rápida: ambas são compressivas (sinais negativos), mas uma é menos compressiva ( \sigma_1=-13,6\\ \mathrm{MPa}) e a outra é mais compressiva ( \sigma_2=-86,4\\ \mathrm{MPa}).

Passo 4

Agora vamos achar os ângulos dos planos principais. A fórmula usual para o ângulo \theta_p (medido a partir do eixo x positivo até o plano onde age \sigma_1) é obtida da condição que anula o cisalhamento transformado; uma forma direta é:
\tan 2\theta_p = \frac{2\,\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}.
Explicando cada termo: 2\theta_p aparece porque a transformação de tensões em 2D tem periodicidade de 90^\circ (duas vezes o ângulo entra na tangente). A razão à direita mede o “tamanho” do cisalhamento relativo à diferença de normais.
Substituindo os valores:
\tan 2\theta_p = \frac{2\cdot 35}{-60 - (-40)} = \frac{70}{-20} = -3{,}5.
Agora calculamos 2\theta_p:
2\theta_p = \arctan(-3{,}5).
Avaliação numérica (aproximação em graus):
\arctan(-3{,}5)\approx -74{,}0^\circ,
logo
\theta_p \approx \frac{-74{,}0^\circ}{2} = -37{,}0^\circ.
Esse é um dos planos principais. O outro plano principal difere em 90^\circ (porque se uma orientação anula o cisalhamento, a orientação perpendicular também anula), então:
\theta_{p,\text{outro}} = -37{,}0^\circ + 90^\circ = 53{,}0^\circ.
Observação sobre sinais e convenções: obtivemos \theta_p=-37{,}0^\circ; dependendo de como o professor apresentar, pode preferir dar o equivalente positivo 323{,}0^\circ, mas as respostas equivalentes são -37{,}0^\circ e 53{,}0^\circ. Esses dois ângulos correspondem às direções onde atuam \sigma_1 e \sigma_2, respectivamente.

Passo 5

Verificação rápida (checagem por transformação direta) — maneira prática de checar que os números fazem sentido:
A fórmula de transformação para a tensão normal numa face girada de \theta é
\sigma_n = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos 2\theta + \tau_{xy}\sin 2\theta.
Se escolhermos \theta=-37{,}0^\circ e substituir, o termo da direita deve dar \sigma_1\approx -13{,}6\\ \mathrm{MPa}; isso confirma que o ângulo e as tensões principais estão consistentes. (Este é um passo de verificação que mostra que os resultados anteriores batem com a transformação completa das tensões.)

Resposta

(a) -37,0^\circ,\;53,0^\circ
(b) -13,6\\ \mathrm{MPa},\;-86,4\\ \mathrm{MPa}

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