1. (2 pontos) A partir dos dados a seguir, construa a tabela completa de locação da curva de transição simples utilizando corda igual a 20 m .
    Ls =120 \mathrm{~m}
    \mathrm{Rc}=600 \mathrm{~m}
    AC =60^{\circ}
    \mathrm{TT}=407 \mathrm{~m}
    TS =827 \mathrm{e}+5,20 \mathrm{~m}
    \mathrm{SC}=833 \mathrm{e}+5,20 \mathrm{~m}
    \theta \mathrm{s}=0,1 \mathrm{rad}
    Ys final =4 \mathrm{~m}
    Xs final =119,9 \mathrm{~m}
    \mathrm{PI}=847 \mathrm{e}+12,20 \mathrm{~m}
Estaca \mathrm{L}(\mathrm{m})
\theta
(radianos)
X
(\mathrm{m})
Y
(\mathrm{m})
Deflexão
\left({ }^{\circ},{ }^{\prime \prime}\right)

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei estes números do enunciado):
  • Dados fornecidos:
    • Comprimento da curva de transição: L_s=120\\ \mathrm{m}.
    • Raio da curva circular: R_c=600\\ \mathrm{m}.
    • Ângulo central da curva circular: AC=60^\circ.
    • Comprimento total (TT) (dado, não usado diretamente na tabulação da transição): TT=407\\ \mathrm{m}.
    • Estacas/posições (stations) indicadas no enunciado: TS=827+5{,}20\\ \mathrm{m}, SC=833+5{,}20\\ \mathrm{m}, PI=847+12{,}20\\ \mathrm{m} (essas estações não são necessárias para calcular as coordenadas relativas ao início da transição, mas foram listadas).
    • Ângulo na extremidade da transição: \theta_s=0{,}1\\ \mathrm{rad} (isto equivale à deflexão total na transição).
    • Coordenadas finais da transição fornecidas no enunciado (peguei estes valores do enunciado): X_s\\ \text{final}=119{,}9\\ \mathrm{m} e Y_s\\ \text{final}=4{,}0\\ \mathrm{m}.
  • O que o enunciado pede:
    • Construir a tabela completa de locação da curva de transição simples com corda igual a 20\\ \mathrm{m}. A tabela deve conter, para cada estaca: a distância ao longo da transição L (m), o ângulo \theta (rad), as coordenadas X (m) e Y (m) (no sistema local com origem em TS e eixo X paralelo à tangente inicial) e a deflexão em (^\circ,'').
Observação: a tabela pedida corresponde a dividir a transição em trechos de corda 20\\ \mathrm{m}, ou seja em comprimentos s=0,\;20,\;40,\;\ldots,\;120\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Teoria e fórmulas que vamos usar (explicação didática, passo a passo):
  1. Parâmetro da espiral (curva de Euler / clotóide):
  • Para uma transição simples que liga tangente reta a um arco de raio R_c com comprimento L_s, define-se a constante A tal que
A^2 = R_c\;L_s.
Explicação: o parâmetro A controla a variação da curvatura ao longo da transição; para uma clotóide de comprimento L_s a curvatura final é k(L_s)=\dfrac{L_s}{A^2} e deve ser igual a 1/R_c. Daí A^2=R_c L_s.
  1. Curvatura e deflexão ao longo da transição:
  • A curvatura (recíproco do raio local) varia linearmente com a abscissa s ao longo da transição:
k(s)=\frac{s}{A^2}.
  • A deflexão (ângulo entre a tangente inicial e a tangente no ponto s) é a integral da curvatura:
\theta(s)=\int_0^s k(u)\,du=\frac{s^2}{2A^2}.
Observação: para s=L_s temos \theta(L_s)=\dfrac{L_s^2}{2A^2}. Se A^2=R_c L_s então \theta(L_s)=\dfrac{L_s}{2R_c}. No enunciado foi dado \theta_s=0{,}1\\ \mathrm{rad}; isso será conferido abaixo.
  1. Coordenadas X(s),Y(s) no sistema local:
  • As coordenadas da clotóide são dadas por integrais das funções trigonométricas:
X(s)=\int_0^s \cos\!\big(\theta(u)\big)\,du,\qquad Y(s)=\int_0^s \sin\!\big(\theta(u)\big)\,du,
onde \theta(u)=u^2/(2A^2). Essas integrais são as chamadas integrais de Fresnel; para cálculo prático usa-se séries de potência (suficientes para boa precisão quando s/A não é grande). As séries truncadas que usaremos (bons termos para o nosso caso) são:
X(s)\approx s-\frac{s^5}{40A^4}+\frac{s^9}{3456A^8},
Y(s)\approx\frac{s^3}{6A^2}-\frac{s^7}{336A^6}+\frac{s^{11}}{42240A^{10}}.
Explicação dos termos:
  • O termo principal em X é s (se a curva fosse reta X=s,\;Y=0). Os subtratores corrigem a curvatura introduzida pela transição.
  • Em Y, o primeiro termo é da ordem s^3/(6A^2) (pequeno se a curvatura é pequena), e os termos seguintes são correções menores.
  1. Conversão de \theta (radianos) para deflexão em graus, minutos e segundos:
  • Primeiro converte-se \theta para graus por \theta_{^\circ}=\theta\cdot\dfrac{180}{\pi}.
  • A parte inteira dá os graus; a parte fracionária multiplicada por 60 dá os minutos; a parte fracionária desses minutos multiplicada por 60 dá os segundos.
  • Ex.: se \theta=0{,}00277778\\ \mathrm{rad} então \theta_{^\circ}=0{,}15915^\circ, minutos =0{,}15915\times60=9{,}549' -> 9' e segundos 0{,}549\times60=32{,}94''.

Passo 3

Cálculos dos parâmetros constantes (numéricos):
  • Calcular A^2 e A:
A^2 = R_c L_s = 600\cdot 120 = 72\,000,
A=\sqrt{72\,000}\approx 268{,}3281573\\ \mathrm{m}.
  • Para uso nas séries também podemos ter:
A^4=(A^2)^2 = (72\,000)^2 = 5{,}184\times10^{9},
A^6=(A^2)^3 = (72\,000)^3 \approx 3{,}73248\times10^{14}.

Passo 4

Verificação da deflexão final indicada no enunciado:
  • Pela fórmula:
\theta(L_s)=\frac{L_s^2}{2A^2}=\frac{120^2}{2\cdot72\,000}=\frac{14\,400}{144\,000}=0{,}1\\ \mathrm{rad},
o que coincide com o \theta_s=0{,}1\\ \mathrm{rad} dado. Bom sinal: as fórmulas estão coerentes.

Passo 5

Plano de cálculo prático para montar a tabela (corda =20\\ \mathrm{m}):
  • Vamos tomar as abscissas ao longo da transição s=0,\;20,\;40,\;60,\;80,\;100,\;120\\ \mathrm{m}.
  • Para cada s calculamos:
    • \theta(s)=\dfrac{s^2}{2A^2} (rad).
    • X(s) e Y(s) pelas séries truncadas (os termos mais altos são muito pequenos e podem ser desprezados exceto quando necessário).
    • Convertimos \theta(s) para (^\circ,'') como explicado.
  • Observação importante: para s=120\\ \mathrm{m} (extremidade da transição) usarei explicitamente os valores finais fornecidos no enunciado X_s=119{,}9\\ \mathrm{m} e Y_s=4{,}0\\ \mathrm{m} (peguei esses valores do enunciado) — isso garante coerência com o enunciado e compensa termos de ordem mais alta não calculados aqui.

Passo 6

  • s=0
\theta(0)=\frac{0^2}{2A^2}=0.
Séries:
X(0)=0,\qquad Y(0)=0.
Deflexão: 0^\circ 00' 00{,}00''.

Passo 7

  • \theta(20)=\dfrac{20^2}{2\cdot72\,000}=\dfrac{400}{144\,000}=0{,}00277777778\\ \mathrm{rad}.
  • Converte para graus:
\theta_{^\circ}=0{,}00277777778\cdot\frac{180}{\pi}\approx 0{,}159154943^\circ
o que em ^{\circ}\,'\,'' dá aproximadamente 0^\circ 9' 32{,}96''.
  • Calcular X(20) e Y(20) pelas séries (mantendo os termos relevantes):
X(20)\approx 20-\frac{20^5}{40A^4} \approx 20 - \frac{3{,}2\times10^6}{40\cdot5{,}184\times10^9}\approx 19{,}999985\\ \mathrm{m}.
Y(20)\approx \frac{20^3}{6A^2}\approx \frac{8{,}000}{6\cdot72{,}000}\approx 0{,}0185185\\ \mathrm{m}.

Passo 8

  • \theta(40)=\dfrac{40^2}{144\,000}=0{,}01111111111\\ \mathrm{rad}.
  • Em graus: \approx 0{,}636619772^\circ 0^\circ 38' 11{,}83''.
  • Coordenadas:
X(40)\approx 40-\frac{40^5}{40A^4}\approx 40-0{,}00049382716\approx 39{,}999506\\ \mathrm{m}.
Y(40)\approx\frac{40^3}{6A^2}-\frac{40^7}{336A^6}\approx 0{,}14814815-0{,}00000131\approx 0{,}148147\\ \mathrm{m}.

Passo 9

  • \theta(60)=\dfrac{60^2}{144\,000}=0{,}02500000000\\ \mathrm{rad}.
  • Em graus: \approx 1{,}432394487^\circ 1^\circ 25' 56{,}62''.
  • Coordenadas:
X(60)\approx 60-\frac{60^5}{40A^4}\approx 60-0{,}00375\approx 59{,}996250\\ \mathrm{m}.
Y(60)\approx\frac{60^3}{6A^2}-\frac{60^7}{336A^6}\approx 0{,}5-0{,}00002232\approx 0{,}499978\\ \mathrm{m}.

Passo 10

  • \theta(80)=\dfrac{80^2}{144\,000}=0{,}04444444444\\ \mathrm{rad}.
  • Em graus: \approx 2{,}545177988^\circ 2^\circ 32' 42{,}64''.
  • Coordenadas:
X(80)\approx 80-\frac{80^5}{40A^4}\approx 80-0{,}01581358\approx 79{,}984186\\ \mathrm{m}.
Y(80)\approx\frac{80^3}{6A^2}-\frac{80^7}{336A^6}\approx 1{,}18518519-0{,}00016723\approx 1{,}185018\\ \mathrm{m}.

Passo 11

  • \theta(100)=\dfrac{100^2}{144\,000}=0{,}06944444444\\ \mathrm{rad}.
  • Em graus: \approx 3{,}979787086^\circ 3^\circ 58' 47{,}23''.
  • Coordenadas:
X(100)\approx 100-\frac{100^5}{40A^4}\approx 100-0{,}04822134\approx 99{,}951779\\ \mathrm{m}.
Y(100)\approx\frac{100^3}{6A^2}-\frac{100^7}{336A^6}\approx 2{,}31481481-0{,}00079755\approx 2{,}314017\\ \mathrm{m}.

Passo 12

  • Pelo enunciado: X_s\\ \text{final}=119{,}9\\ \mathrm{m} e Y_s\\ \text{final}=4{,}0\\ \mathrm{m} (peguei esses valores do enunciado).
  • Também:
\theta(120)=\frac{120^2}{144\,000}=0{,}1\\ \mathrm{rad}.
  • Em graus: 0{,}1\cdot\dfrac{180}{\pi}\approx 5{,}729577951^\circ 5^\circ 43' 46{,}48''.
Observação: a série para Y Y\approx 4{,}0\\ \mathrm{m} praticamente; a série para X X\approx 119{,}88\\ \mathrm{m} mas o enunciado fornece 119{,}9\\ \mathrm{m}, então adotei o valor fornecido para coerência com o enunciado.

Resposta

Estaca L(\mathrm{m}) \theta (radianos) X (m) Y (m) Deflexão (^\circ, '')
0 0 0{,}000000 0{,}000 0{,}000 0^\circ 00' 00{,}00''
1 20 0{,}002778 20{,}000 0{,}019 0^\circ 09' 32{,}96''
2 40 0{,}011111 39{,}999 0{,}148 0^\circ 38' 11{,}83''
3 60 0{,}025000 59{,}996 0{,}500 1^\circ 25' 56{,}62''
4 80 0{,}044444 79{,}984 1{,}185 2^\circ 32' 42{,}64''
5 100 0{,}069444 99{,}952 2{,}314 3^\circ 58' 47{,}23''
6 120 0{,}100000 119{,}900 4{,}000 5^\circ 43' 46{,}48''

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