- (2 pontos) A partir dos dados a seguir, construa a tabela completa de locação da curva de transição simples utilizando corda igual a 20 m .
Ls
AC
TS
Ys final
Xs final
Estaca
(radianos)
X
Y
Deflexão
Ls
AC
TS
Ys final
Xs final
| Estaca |
|
|
|
|
|
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei estes números do enunciado):
-
Dados fornecidos:
- Comprimento da curva de transição:
. - Raio da curva circular:
. - Ângulo central da curva circular:
. - Comprimento total (TT) (dado, não usado diretamente na tabulação da transição):
. - Estacas/posições (stations) indicadas no enunciado:
, , (essas estações não são necessárias para calcular as coordenadas relativas ao início da transição, mas foram listadas). - Ângulo na extremidade da transição:
(isto equivale à deflexão total na transição). - Coordenadas finais da transição fornecidas no enunciado (peguei estes valores do enunciado):
e .
- Comprimento da curva de transição:
-
O que o enunciado pede:
- Construir a tabela completa de locação da curva de transição simples com corda igual a
. A tabela deve conter, para cada estaca: a distância ao longo da transição (m), o ângulo (rad), as coordenadas (m) e (m) (no sistema local com origem em e eixo paralelo à tangente inicial) e a deflexão em .
- Construir a tabela completa de locação da curva de transição simples com corda igual a
Observação: a tabela pedida corresponde a dividir a transição em trechos de corda
, ou seja em comprimentos
.
Passo 2
Teoria e fórmulas que vamos usar (explicação didática, passo a passo):
- Parâmetro da espiral (curva de Euler / clotóide):
- Para uma transição simples que liga tangente reta a um arco de raio
com comprimento , define-se a constante tal que
Explicação: o parâmetro
controla a variação da curvatura ao longo da transição; para uma clotóide de comprimento
a curvatura final é
e deve ser igual a
. Daí
.
- Curvatura e deflexão ao longo da transição:
- A curvatura (recíproco do raio local) varia linearmente com a abscissa
ao longo da transição:
- A deflexão (ângulo entre a tangente inicial e a tangente no ponto
) é a integral da curvatura:
Observação: para
temos
. Se
então
. No enunciado foi dado
; isso será conferido abaixo.
- Coordenadas
no sistema local:
- As coordenadas da clotóide são dadas por integrais das funções trigonométricas:
onde
. Essas integrais são as chamadas integrais de Fresnel; para cálculo prático usa-se séries de potência (suficientes para boa precisão quando
não é grande). As séries truncadas que usaremos (bons termos para o nosso caso) são:
Explicação dos termos:
- O termo principal em
é (se a curva fosse reta ). Os subtratores corrigem a curvatura introduzida pela transição. - Em
, o primeiro termo é da ordem (pequeno se a curvatura é pequena), e os termos seguintes são correções menores.
- Conversão de
(radianos) para deflexão em graus, minutos e segundos:
- Primeiro converte-se
para graus por . - A parte inteira dá os graus; a parte fracionária multiplicada por
dá os minutos; a parte fracionária desses minutos multiplicada por dá os segundos. - Ex.: se
então , minutos -> e segundos .
Passo 3
Cálculos dos parâmetros constantes (numéricos):
- Calcular
e :
- Para uso nas séries também podemos ter:
Passo 4
Verificação da deflexão final indicada no enunciado:
- Pela fórmula:
o que coincide com o
dado. Bom sinal: as fórmulas estão coerentes.
Passo 5
Plano de cálculo prático para montar a tabela (corda
):
- Vamos tomar as abscissas ao longo da transição
. - Para cada
calculamos: -
(rad). -
e pelas séries truncadas (os termos mais altos são muito pequenos e podem ser desprezados exceto quando necessário). - Convertimos
para como explicado.
-
- Observação importante: para
(extremidade da transição) usarei explicitamente os valores finais fornecidos no enunciado e (peguei esses valores do enunciado) — isso garante coerência com o enunciado e compensa termos de ordem mais alta não calculados aqui.
Passo 6
Séries:
Deflexão:
.
Passo 7
-
- Converte para graus:
o que em
dá aproximadamente
.
- Calcular
e pelas séries (mantendo os termos relevantes):
Passo 8
-
-
Em graus:
→ . -
Coordenadas:
Passo 9
-
-
Em graus:
→ . -
Coordenadas:
Passo 10
-
-
Em graus:
→ . -
Coordenadas:
Passo 11
-
-
Em graus:
→ . -
Coordenadas:
Passo 12
- Pelo enunciado:
e (peguei esses valores do enunciado). - Também:
- Em graus:
→ .
Observação: a série para
dá
praticamente; a série para
dá
mas o enunciado fornece
, então adotei o valor fornecido para coerência com o enunciado.
Resposta
| Estaca |
|
|
|
|
Deflexão
|
|---|---|---|---|---|---|
| 0 |
|
|
|
|
|
| 1 |
|
|
|
|
|
| 2 |
|
|
|
|
|
| 3 |
|
|
|
|
|
| 4 |
|
|
|
|
|
| 5 |
|
|
|
|
|
| 6 |
|
|
|
|
|