O estado de tensão em um ponto de um elemento estrutural está definido por uma tensão de tração de 140 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}^{2} na direção x , uma tensão de compressão de 50 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}^{2} na direção y e uma tensão de cisalhamento positivo de 60 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}^{2} no plano xy. Se o material tem uma tensão de escoamento de 225 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}^{2}, determine se ocorre a falha do elemento em relação ao critério de Tresca (Guest).
Resp.: Não, porque (\sigma 1-\sigma 3)<225 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}^{2}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se ocorre falha pelo critério de Tresca (Guest) para um estado de tensões dado. Dados fornecidos:
\sigma_x=140\\ \mathrm{N/mm^2} (tração),
\sigma_y é uma compressão de 50\\ \mathrm{N/mm^2}, portanto \sigma_y=-50\\ \mathrm{N/mm^2},
\tau_{xy}=+60\\ \mathrm{N/mm^2} (cisalhamento positivo),
tensão de escoamento do material \sigma_{\text{escoamento}}=225\\ \mathrm{N/mm^2}.
A pergunta é: ocorre falha segundo Tresca?

Passo 2

Vou explicar o critério de Tresca (Guest) de forma prática:
Tresca diz que a falha por escoamento ocorre quando a máxima diferença entre quaisquer duas tensões principais é maior ou igual à tensão de escoamento do material. Em fórmula:
\text{falha se } \max\bigl(|\sigma_1-\sigma_2|,\;|\sigma_2-\sigma_3|,\;|\sigma_3-\sigma_1|\bigr)\ge \sigma_{\text{escoamento}}.
Aqui \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3 são as tensões principais ordenadas (ou não; usamos valores absolutos das diferenças). No caso de estado plano (plane stress), a tensão fora do plano é \sigma_3=0. Portanto precisamos calcular \sigma_1 e \sigma_2 a partir de \sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy}.

Passo 3

Fórmula para as tensões principais em estado plano:
\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^{2}+\tau_{xy}^{2}}.
Explicando:
  • \sigma_x e \sigma_y são as tensões normais em x e y (positivas em tração),
  • \tau_{xy} é a tensão de cisalhamento no plano xy,
  • o termo sob a raiz é o quadrado do raio de Mohr para o elemento 2D e determina a magnitude da diferença entre as tensões principais e o valor médio (\sigma_x+\sigma_y)/2.

Passo 4

Calculando o valor médio \dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2}:
\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}=\frac{140+(-50)}{2}=\frac{90}{2}=45\\ \mathrm{N/mm^2}.

Passo 5

Calculando o termo dentro da raiz passo a passo:
\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}=\frac{140-(-50)}{2}=\frac{190}{2}=95\\ \mathrm{N/mm^2}.
Quadrado desse termo:
95^{2}=9025\\ \mathrm{(N/mm^2)^2}.
Quadrado do cisalhamento:
\tau_{xy}^{2}=60^{2}=3600\\ \mathrm{(N/mm^2)^2}.
Soma:
9025+3600=12625\\ \mathrm{(N/mm^2)^2}.
Raiz:
\sqrt{12625}\approx 112,36\\ \mathrm{N/mm^2}.

Passo 6

Agora as tensões principais:
\sigma_1=45+112,36=157,36\\ \mathrm{N/mm^2},
\sigma_2=45-112,36=-67,36\\ \mathrm{N/mm^2}.
E, por ser estado plano, \sigma_3=0\\ \mathrm{N/mm^2}.

Passo 7

Calculemos as diferenças entre principais (valores positivos quando apropriado):
|\sigma_1-\sigma_2|=157,36-(-67,36)=224,72\\ \mathrm{N/mm^2},
|\sigma_2-\sigma_3|=|-67,36-0|=67,36\\ \mathrm{N/mm^2},
|\sigma_3-\sigma_1|=|0-157,36|=157,36\\ \mathrm{N/mm^2}.
A maior diferença é 224,72\\ \mathrm{N/mm^2}.

Passo 8

Comparação com o limite de escoamento pelo critério de Tresca:
224,72\\ \mathrm{N/mm^2} < 225\\ \mathrm{N/mm^2},
logo a condição de escoamento (falha) não é atingida — estamos muito próximos, mas ainda abaixo do limite.

Resposta

Não, porque (\sigma_1-\sigma_3)=224,72\\ \mathrm{N/mm^2}<225\\ \mathrm{N/mm^2}

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