Em um ensaio de tração de um corpo de prova de metal de 20 mm por 10 mm de seção a falha ocorreu para uma carga de 70000 N . Uma placa feita deste metal apresenta em um determinado ponto tensões \sigma x=259 \mathrm{MPa} e \sigma y=-70 \mathrm{MPa} e uma tensão cisalhante \tau x y. Determinar o valor máximo admissível desta tensão cisalhante para atender o critério de Tresca (Guest).

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma única coisa clara: determinar o maior valor admissível da tensão de cisalhamento \tau_{xy} para que o material satisfaça o critério de Tresca (Guest).
Dados fornecidos:
  • Ensaio de tração que levou à falha com carga P = 70000\\ \mathrm{N} em um corpo de prova com seção 20\\ \mathrm{mm} \times 10\\ \mathrm{mm}.
  • No ponto da placa temos \sigma_x = 259\\ \mathrm{MPa} e \sigma_y = -70\\ \mathrm{MPa}.
  • A tensão cisalhante no ponto é \tau_{xy} (incógnita).
  • Critério pedido: Tresca (Guest).

Passo 2

Transformar a informação do ensaio de tração em uma tensão de referência (tensão de escoamento admissível para o critério). A fórmula básica para tensão normal (média de engenharia) é
\sigma = \frac{P}{A},
onde P é a carga e A a área da seção. Aqui
A = 20\\ \mathrm{mm}\times 10\\ \mathrm{mm} = 200\\ \mathrm{mm}^2.
Portanto a tensão obtida no ensaio é
\sigma_Y = \frac{70000\\ \mathrm{N}}{200\\ \mathrm{mm}^2} = 350\\ \mathrm{MPa}.
Comentário didático: usamos essa tensão como a referência do critério de Tresca — na prática, em exercícios é comum que a carga de falha seja tratada como tensão de escoamento/ruptura disponível para comparar com o critério.

Passo 3

Explicar o critério de Tresca (Guest) de forma simples e operacional. O critério diz que o material entra em escoamento quando a máxima tensão de cisalhamento principal atinge a metade da tensão de escoamento em ensaio uniaxial. Em termos de tensões principais isso pode ser escrito como
\max\big\{|\sigma_1-\sigma_2|,\;|\sigma_2-\sigma_3|,\;|\sigma_3-\sigma_1|\big\} = \sigma_Y,
onde \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3 são as tensões principais ordenadas. Didaticamente: pegue todas as diferenças entre os três \sigma principais, a maior delas deve ser igual à tensão de tração de ensaio \sigma_Y no limite de escoamento.

Passo 4

Como estamos em problema de tensões planas (placa fina), podemos tomar \sigma_3 = 0. Assim o critério fica envolvendo apenas \sigma_1,\sigma_2,0. Para obter \sigma_1 e \sigma_2 precisamos da fórmula das tensões principais em plano:
\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}.
Explicação das variáveis:
  • \sigma_x e \sigma_y são tensões normais nas direções x e y (dadas).
  • \tau_{xy} é a tensão de cisalhamento que queremos.
  • A raiz quadrada é a amplitude do desvio (meia distância entre \sigma_1 e \sigma_2).

Passo 5

Calcular os termos numéricos úteis. Primeiro a soma e a diferença:
\sigma_x+\sigma_y = 259 + (-70) = 189\\ \mathrm{MPa},
logo a média é
\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} = \frac{189}{2} = 94{,}5\\ \mathrm{MPa}.
A diferença metade é
\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2} = \frac{259 - (-70)}{2} = \frac{329}{2} = 164{,}5\\ \mathrm{MPa}.

Passo 6

Denotando
R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2} = \sqrt{164{,}5^2 + \tau_{xy}^2},
temos
\sigma_1 = 94{,}5 + R,\qquad \sigma_2 = 94{,}5 - R.
A diferença entre as duas tensões principais é
|\sigma_1-\sigma_2| = 2R.
Também temos |\sigma_1-0| = |94{,}5+R| e |\sigma_2-0| = |94{,}5-R|.

Passo 7

Determinar qual das três diferenças é a maior (para aplicar Tresca). Observação numérica útil: com \tau_{xy}\ge 0 temos R\ge 164{,}5, portanto
\sigma_1 = 94{,}5 + R \ge 94{,}5 + 164{,}5 = 259\\ \mathrm{MPa},
e
\sigma_2 = 94{,}5 - R \le 94{,}5 - 164{,}5 = -70\\ \mathrm{MPa}.
Comparando 2R com \sigma_1:
2R - \sigma_1 = 2R - (94{,}5 + R) = R - 94{,}5.
Como R\ge 164{,}5, segue R - 94{,}5 \ge 70 >0. Logo 2R > \sigma_1. Também 2R é maior que |\sigma_2|. Portanto a maior diferença tríplice do critério de Tresca é sempre
\max\{|\sigma_1-\sigma_2|,|\sigma_2-0|,|\sigma_1-0|\} = 2R.
Isso simplifica bastante o problema: basta impor 2R = \sigma_Y.

Passo 8

Impor o critério de Tresca na forma reduzida:
2R = \sigma_Y.
Substituindo R e \sigma_Y obtemos
2\sqrt{164{,}5^2 + \tau_{xy}^2} = 350.
Dividindo por 2:
\sqrt{164{,}5^2 + \tau_{xy}^2} = 175.
Elevando ao quadrado:
164{,}5^2 + \tau_{xy}^2 = 175^2.
Isolando \tau_{xy}^2:
\tau_{xy}^2 = 175^2 - 164{,}5^2.

Passo 9

Fazer as contas numéricas:
175^2 = 30625,\qquad 164{,}5^2 = 27060{,}25,
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\tau_{xy}^2 = 30625 - 27060{,}25 = 3564{,}75.
Tomando a raiz quadrada:
\tau_{xy} = \sqrt{3564{,}75}\approx 59{,}71\\ \mathrm{MPa}.
Breve incentivo: chegamos ao valor com passos simples — cálculo de área, transformação da carga em tensão, uso das fórmulas de tensões principais e aplicação direta do critério de Tresca.

Resposta

59{,}71\\ \mathrm{MPa}

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