Considerando para a placa do exercício anterior um material com \mathrm{E}=210 \mathrm{GPa} ; v=0,3; \sigma t=300 \mathrm{MPa} e \sigma t=-300 \mathrm{MPa}, determine o coeficiente de segurança pela teoria de Rankine.

Passo 1

O enunciado atual dá as seguintes informações:
  • Módulo de Young: E=210\\ \mathrm{GPa}.
  • Coeficiente de Poisson: \nu=0,3.
  • Resistência à tração (fornecida): \sigma_t=300\\ \mathrm{MPa}.
  • Resistência à compressão (fornecida): \sigma_c=-300\\ \mathrm{MPa} (o sinal negativo indica compressão).
O que o enunciado pede:
  • Determinar o coeficiente de segurança pela teoria de Rankine (critério da máxima tensão principal).
Observação importante: o enunciado refere-se à “placa do exercício anterior”. Para calcular o coeficiente de segurança pela teoria de Rankine precisamos conhecer as tensões aplicadas na placa — normalmente as tensões principais \sigma_1 e \sigma_2, ou ao menos as componentes de tensão no plano \sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy} do exercício anterior. Esses valores não foram enviados junto com este enunciado.

Passo 2

Por que as tensões aplicadas são necessárias:
  • A teoria de Rankine compara a maior tensão principal gerada na peça com a resistência do material. Sem saber qual é essa maior tensão principal ( \sigma_{\max}) não há como calcular numericamente o coeficiente de segurança.
  • Portanto, faltam os dados essenciais: ou os valores de \sigma_1 e \sigma_2 (tensões principais) obtidos no exercício anterior, ou as componentes de tensão \sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy} que permitem calcular \sigma_1 e \sigma_2.
Como proceder se esses valores fossem conhecidos: siga os passos abaixo (vou explicar direitinho, passo a passo, como você faria na prova).

Passo 3

Explicação didática e simples da teoria de Rankine (máxima tensão principal):
  • A teoria de Rankine é um critério de falha adequado para materiais frágeis (onde a tração domina a ruptura). Ela diz, em palavras simples: “a peça falha quando a maior tensão principal atinge a resistência do material em tração”.
  • Em termos práticos: calcule as tensões principais \sigma_1 e \sigma_2 (ordenadas de forma que \sigma_1\ge\sigma_2). A tensão que interessa para o critério de Rankine é a maior tensão principal \sigma_{\max}=\sigma_1.
  • Se houver tensões trativas ( \sigma_{\max}>0), compara-se com a resistência à tração: a falha ocorre quando \sigma_{\max} \ge \sigma_t.
  • Se todas as tensões forem compressivas ( \sigma_1\le0 e \sigma_2\le0), pode-se comparar a maior tensão compressiva em módulo com a resistência à compressão (se o critério for aplicado ao modo de compressão), ou adotar convenção do problema. Aqui foi dada \sigma_c=-300\\ \mathrm{MPa}.
Fórmula do coeficiente de segurança segundo Rankine:
  • Caso haja tração (caso mais comum que preocupa Rankine):
n = \frac{\sigma_t}{\sigma_{\max}}
onde
  • n é o coeficiente de segurança (adimensional),
  • \sigma_t é a resistência à tração do material (aqui 300\\ \mathrm{MPa}),
  • \sigma_{\max} é a maior tensão principal gerada (em MPa).
  • Se o estado de tensões for todo compressivo e quisermos usar a resistência à compressão:
n = \frac{|\sigma_c|}{|\sigma_{\min}|}
onde \sigma_{\min} é a tensão principal mais negativa (maior em módulo compressivo) e |\sigma_c| é o valor absoluto da resistência à compressão (aqui 300\\ \mathrm{MPa}).
Importante: sempre usar as mesmas unidades e tomar cuidado com o sinal (Rankine usa a maior tensão principal em valor algébrico para tração).

Passo 4

Como calcular as tensões principais (se você só tiver \sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy}) — receita de prova, passo a passo:
  1. Escreva as componentes de tensão no ponto: \sigma_x,\\ \sigma_y,\\ \tau_{xy} (todas em MPa).
  2. Use a fórmula das tensões principais em estado plano (2D):
\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}
Explanação das variáveis:
  • \sigma_x e \sigma_y são as tensões normais nas direções x e y.
  • \tau_{xy} é a tensão de cisalhamento (convenção positiva conforme a sua aula).
  • O + \sigma_1 (maior) e o \sigma_2 (menor).
  1. Ordene para obter \sigma_{\max}=\sigma_1. Se \sigma_1>0, aplique a fórmula do Passo 3 para obter n.
  2. Se \sigma_1\le0 (todas compressivas), usar a comparação com |\sigma_c| conforme explicado no Passo 3.
  3. Interpretação: n>1 significa que, segundo Rankine, a peça está segura; n\le1 indica falha.

Passo 5

Dois exemplos numéricos ilustrativos (para você ver o procedimento na prática; atenção: estes exemplos usam tensões aplicadas fictícias — não são as do seu exercício anterior, pois essas não foram enviadas):
  • Exemplo A (tensão principal trativa domina):
    • Suponha que, no ponto, \sigma_1=150\\ \mathrm{MPa} (tensão), \sigma_2=-50\\ \mathrm{MPa}.
    • Como \sigma_{\max}=\sigma_1=150\\ \mathrm{MPa}>0, pela Rankine:
    n=\frac{\sigma_t}{\sigma_{\max}}=\frac{300}{150}=2.
    Interpretação: segurança de 2 vezes a tensão máxima encontrada.
  • Exemplo B (tudo compressivo):
    • Suponha \sigma_1=-200\\ \mathrm{MPa} e \sigma_2=-100\\ \mathrm{MPa}. O mais compressivo é \sigma_1=-200\\ \mathrm{MPa}.
    • Usando a resistência à compressão |\sigma_c|=300\\ \mathrm{MPa}:
    n=\frac{|\sigma_c|}{|\sigma_1|}=\frac{300}{200}=1{,}5.
    Interpretação: segurança de 1{,}5 vezes frente à compressão.

Passo 6

Conclusão concreta para o seu enunciado: com as informações que você me enviou (apenas E,\nu,\sigma_t,\sigma_c) não é possível dar o valor numérico do coeficiente de segurança pela teoria de Rankine porque faltam as tensões geradas na placa (as tensões principais \sigma_1,\sigma_2 ou as componentes \sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy} do exercício anterior).
Se você me passar as tensões do exercício anterior (ou confirmar as tensões principais), eu calculo rapidinho o n seguindo os passos acima — e te mostro cada conta, linha a linha, como você pediu.

Resposta

Não é possível determinar numericamente o coeficiente de segurança porque faltam as tensões geradas na placa (valores de \sigma_1,\sigma_2 ou de \sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy} obtidos no exercício anterior).

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