Considerando para a placa do exercício anterior um material com
;
e
, determine o coeficiente de segurança pela teoria de Rankine.
Passo 1
O enunciado atual dá as seguintes informações:
- Módulo de Young:
. - Coeficiente de Poisson:
. - Resistência à tração (fornecida):
. - Resistência à compressão (fornecida):
(o sinal negativo indica compressão).
O que o enunciado pede:
- Determinar o coeficiente de segurança pela teoria de Rankine (critério da máxima tensão principal).
Observação importante: o enunciado refere-se à “placa do exercício anterior”. Para calcular o coeficiente de segurança pela teoria de Rankine precisamos conhecer as tensões aplicadas na placa — normalmente as tensões principais
e
, ou ao menos as componentes de tensão no plano
do exercício anterior. Esses valores não foram enviados junto com este enunciado.
Passo 2
Por que as tensões aplicadas são necessárias:
- A teoria de Rankine compara a maior tensão principal gerada na peça com a resistência do material. Sem saber qual é essa maior tensão principal (
) não há como calcular numericamente o coeficiente de segurança. - Portanto, faltam os dados essenciais: ou os valores de
e (tensões principais) obtidos no exercício anterior, ou as componentes de tensão que permitem calcular e .
Como proceder se esses valores fossem conhecidos: siga os passos abaixo (vou explicar direitinho, passo a passo, como você faria na prova).
Passo 3
Explicação didática e simples da teoria de Rankine (máxima tensão principal):
- A teoria de Rankine é um critério de falha adequado para materiais frágeis (onde a tração domina a ruptura). Ela diz, em palavras simples: “a peça falha quando a maior tensão principal atinge a resistência do material em tração”.
- Em termos práticos: calcule as tensões principais
e (ordenadas de forma que ). A tensão que interessa para o critério de Rankine é a maior tensão principal . - Se houver tensões trativas (
), compara-se com a resistência à tração: a falha ocorre quando . - Se todas as tensões forem compressivas (
e ), pode-se comparar a maior tensão compressiva em módulo com a resistência à compressão (se o critério for aplicado ao modo de compressão), ou adotar convenção do problema. Aqui foi dada .
Fórmula do coeficiente de segurança segundo Rankine:
- Caso haja tração (caso mais comum que preocupa Rankine):
onde
-
é o coeficiente de segurança (adimensional), -
é a resistência à tração do material (aqui ), -
é a maior tensão principal gerada (em MPa). -
Se o estado de tensões for todo compressivo e quisermos usar a resistência à compressão:
onde
é a tensão principal mais negativa (maior em módulo compressivo) e
é o valor absoluto da resistência à compressão (aqui
).
Importante: sempre usar as mesmas unidades e tomar cuidado com o sinal (Rankine usa a maior tensão principal em valor algébrico para tração).
Passo 4
Como calcular as tensões principais (se você só tiver
) — receita de prova, passo a passo:
- Escreva as componentes de tensão no ponto:
(todas em MPa). - Use a fórmula das tensões principais em estado plano (2D):
Explanação das variáveis:
-
e são as tensões normais nas direções e . -
é a tensão de cisalhamento (convenção positiva conforme a sua aula). - O
dá (maior) e o dá (menor).
- Ordene para obter
. Se , aplique a fórmula do Passo 3 para obter . - Se
(todas compressivas), usar a comparação com conforme explicado no Passo 3. - Interpretação:
significa que, segundo Rankine, a peça está segura; indica falha.
Passo 5
Dois exemplos numéricos ilustrativos (para você ver o procedimento na prática; atenção: estes exemplos usam tensões aplicadas fictícias — não são as do seu exercício anterior, pois essas não foram enviadas):
-
Exemplo A (tensão principal trativa domina):
- Suponha que, no ponto,
(tensão), . - Como
, pela Rankine:
Interpretação: segurança devezes a tensão máxima encontrada. - Suponha que, no ponto,
-
Exemplo B (tudo compressivo):
- Suponha
e . O mais compressivo é . - Usando a resistência à compressão
:
Interpretação: segurança devezes frente à compressão. - Suponha
Passo 6
Conclusão concreta para o seu enunciado: com as informações que você me enviou (apenas
) não é possível dar o valor numérico do coeficiente de segurança pela teoria de Rankine porque faltam as tensões geradas na placa (as tensões principais
ou as componentes
do exercício anterior).
Se você me passar as tensões do exercício anterior (ou confirmar as tensões principais), eu calculo rapidinho o seguindo os passos acima — e te mostro cada conta, linha a linha, como você pediu.
Se você me passar as tensões do exercício anterior (ou confirmar as tensões principais), eu calculo rapidinho o
Resposta
Não é possível determinar numericamente o coeficiente de segurança porque faltam as tensões geradas na placa (valores de
ou de
obtidos no exercício anterior).