Para o estado de tensões indicado, determine: as tensões normais principais, os planos principais, a máxima tensão de cisalhamento no plano ab, a tensão de cisalhamento máxima, e faça os desenhos do elemento de volume sujeito a essas tensões.
Passo 1
O enunciado fornece as tensões atuantes no elemento plano (sistema de tensões em duas dimensões) e pede várias coisas. Os dados do problema são:
O que o enunciado solicita:
- as tensões normais principais
e ; - os planos principais (as orientações em relação ao eixo
onde agem e ); - a tensão de cisalhamento no plano
(plano original do elemento); - a tensão de cisalhamento máxima (isto é, o maior valor de cisalhamento que ocorre em qualquer plano);
- fazer os desenhos do elemento de volume sujeito a essas tensões (aqui vou descrever passo a passo como desenhar e interpretar).
Passo 2
Breve aula prática: equações básicas para problemas de estado plano de tensões.
- Média das tensões normais:
Aqui
é o valor médio (tensão média) entre
e
.
- Raio de Mohr (também igual à máxima tensão de cisalhamento absoluta):
Esse
aparece em Mohr como o raio do círculo; explica a amplitude das tensões.
- Tensões principais:
onde
é a maior (com
) e
a menor (com
).
- Orientação dos planos principais (ângulo
medido a partir do eixo , no sentido anti-horário):
A solução dá
; dividindo por 2 obtém-se
. Há duas direções principais separadas por
.
-
A tensão de cisalhamento no plano original
é simplesmente (com sinal). O módulo é o valor de magnitude. -
As direções de máxima tensão de cisalhamento ocorrem a
das direções principais; os ângulos são .
Vou agora aplicar essas fórmulas com os números dados, mostrando todas as contas passo a passo.
Passo 3
Calcular a tensão média
e o termo
.
Explanação rápida:
é o centro do círculo de Mohr; o número
é a metade da diferença entre as tensões normais, que entra na fórmula do raio.
Passo 4
Calcular o raio
(que também será a tensão de cisalhamento máxima absoluta).
Interpretação: o raio é
. Isso significa que o maior valor absoluto de cisalhamento é
e que as tensões principais ficam a
em relação à média
.
Passo 5
Calcular as tensões principais
e
.
Dica prática: sempre verifique que a média
retorna
(aqui
), isso checa as contas.
Passo 6
Determinar os planos principais (ângulos). Usamos a fórmula
Substituindo:
Calcular
:
Logo
Esse resultado dá uma das direções principais. A outra direção principal está a
desta:
Observação sobre interpretação: o ângulo
calculado pela fórmula acima normalmente corresponde à orientação (a partir do eixo
) da superfície cujo esforço normal é
. Por causa da ambiguidade do arco-tangente, sempre acrescente
para obter a outra direção principal.
Passo 7
Tensão de cisalhamento no plano
e máxima tensão de cisalhamento.
- A tensão de cisalhamento no plano
(plano original ) é a dada pelo enunciado:
O módulo é
.
- A tensão de cisalhamento máxima em qualquer plano (isto é, o maior valor absoluto de cisalhamento) é igual ao raio
calculado antes:
- Planos onde ocorre essa
: ficam a das direções principais:
Esses são os ângulos medidos a partir do eixo
das superfícies onde o cisalhamento atingirá
.
Passo 8
Verificação rápida (opcional, mas pedagógica): calcular a tensão de cisalhamento num plano girado até
para confirmar que a cisalhamento lá é zero.
Fórmula de tensão de cisalhamento rotacionada:
Se
, então
deve ser zero (definição de plano principal). Plugando numericamente daria zero (confirmação numérica pode ser feita com cálculo), então a orientação encontrada está consistente.
Passo 9
Como desenhar (instruções passo a passo para o esboço do elemento e do círculo de Mohr):
- Desenho do elemento de material (retângulo representando a fatia no plano
):
- No face que tem normal no sentido
, desenhar (seta ou sinal indicando tração se positivo). - Na face com normal no sentido
, desenhar (sinal negativo indica compressão). - No plano
, desenhar . Lembrete sobre convenções: é a componente de cisalhamento numa face normal a na direção . O sinal negativo indica o sentido — seja consistente ao desenhar as setas.
- Desenho das tensões principais no elemento:
- Girar o quadro do elemento em
para alinhar as faces principais; nas faces normais a essa direção atuarão (tração) e na face perpendicular (compressão). Nas faces principais o cisalhamento é zero.
- Desenho do círculo de Mohr:
- No eixo horizontal colocar
, no vertical . - Centro em
com raio . - Pontos correspondentes às tensões originais:
e . - Interseções do círculo com eixo
dão e .
Seguindo essas instruções consegue-se os desenhos esperados para a prova.
Resposta
Planos principais:
Tensão de cisalhamento no plano
Tensão de cisalhamento máxima: