Para o estado de tensões indicado, determine: as tensões normais principais, os planos principais, a máxima tensão de cisalhamento no plano ab, a tensão de cisalhamento máxima, e faça os desenhos do elemento de volume sujeito a essas tensões.
\sigma_{\mathrm{x}}=16 \mathrm{MPa}, \sigma_{\mathrm{y}}=-48 \mathrm{MPa}, \tau_{\mathrm{xy}}=-60 \mathrm{MPa}

Passo 1

O enunciado fornece as tensões atuantes no elemento plano (sistema de tensões em duas dimensões) e pede várias coisas. Os dados do problema são:
  • \sigma_{\mathrm{x}}=16\\ \mathrm{MPa}
  • \sigma_{\mathrm{y}}=-48\\ \mathrm{MPa}
  • \tau_{\mathrm{xy}}=-60\\ \mathrm{MPa}
O que o enunciado solicita:
  • as tensões normais principais \sigma_1 e \sigma_2;
  • os planos principais (as orientações em relação ao eixo x onde agem \sigma_1 e \sigma_2);
  • a tensão de cisalhamento no plano ab (plano original xy do elemento);
  • a tensão de cisalhamento máxima (isto é, o maior valor de cisalhamento que ocorre em qualquer plano);
  • fazer os desenhos do elemento de volume sujeito a essas tensões (aqui vou descrever passo a passo como desenhar e interpretar).

Passo 2

Breve aula prática: equações básicas para problemas de estado plano de tensões.
  • Média das tensões normais:
\sigma_{\mathrm{m}}=\frac{\sigma_{\mathrm{x}}+\sigma_{\mathrm{y}}}{2}.
Aqui \sigma_{\mathrm{m}} é o valor médio (tensão média) entre \sigma_{\mathrm{x}} e \sigma_{\mathrm{y}}.
  • Raio de Mohr (também igual à máxima tensão de cisalhamento absoluta):
R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_{\mathrm{x}}-\sigma_{\mathrm{y}}}{2}\right)^{2}+\tau_{\mathrm{xy}}^{2}}.
Esse R aparece em Mohr como o raio do círculo; explica a amplitude das tensões.
  • Tensões principais:
\sigma_{1,2}=\sigma_{\mathrm{m}}\pm R,
onde \sigma_1 é a maior (com +) e \sigma_2 a menor (com -).
  • Orientação dos planos principais (ângulo \theta_p medido a partir do eixo x, no sentido anti-horário):
\tan(2\theta_p)=\frac{2\tau_{\mathrm{xy}}}{\sigma_{\mathrm{x}}-\sigma_{\mathrm{y}}}.
A solução dá 2\theta_p; dividindo por 2 obtém-se \theta_p. Há duas direções principais separadas por 90^\circ.
  • A tensão de cisalhamento no plano original xy é simplesmente \tau_{\mathrm{xy}} (com sinal). O módulo |\tau_{\mathrm{xy}}| é o valor de magnitude.
  • As direções de máxima tensão de cisalhamento ocorrem a 45^\circ das direções principais; os ângulos são \theta_s=\theta_p\pm 45^\circ.
Vou agora aplicar essas fórmulas com os números dados, mostrando todas as contas passo a passo.

Passo 3

Calcular a tensão média \sigma_{\mathrm{m}} e o termo \dfrac{\sigma_{\mathrm{x}}-\sigma_{\mathrm{y}}}{2}.
\sigma_{\mathrm{m}}=\frac{\sigma_{\mathrm{x}}+\sigma_{\mathrm{y}}}{2}=\frac{16+(-48)}{2}=\frac{-32}{2}=-16\\ \mathrm{MPa}.
\frac{\sigma_{\mathrm{x}}-\sigma_{\mathrm{y}}}{2}=\frac{16-(-48)}{2}=\frac{64}{2}=32\\ \mathrm{MPa}.
Explanação rápida: \sigma_{\mathrm{m}} é o centro do círculo de Mohr; o número 32\\ \mathrm{MPa} é a metade da diferença entre as tensões normais, que entra na fórmula do raio.

Passo 4

Calcular o raio R (que também será a tensão de cisalhamento máxima absoluta).
R=\sqrt{\left(32\right)^{2}+(-60)^{2}}=\sqrt{1024+3600}=\sqrt{4624}=68\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação: o raio é 68\\ \mathrm{MPa}. Isso significa que o maior valor absoluto de cisalhamento é 68\\ \mathrm{MPa} e que as tensões principais ficam a \pm 68\\ \mathrm{MPa} em relação à média -16\\ \mathrm{MPa}.

Passo 5

Calcular as tensões principais \sigma_1 e \sigma_2.
\sigma_{1}=\sigma_{\mathrm{m}}+R=-16+68=52\\ \mathrm{MPa},
\sigma_{2}=\sigma_{\mathrm{m}}-R=-16-68=-84\\ \mathrm{MPa}.
Dica prática: sempre verifique que a média \dfrac{\sigma_1+\sigma_2}{2} retorna \sigma_{\mathrm{m}} (aqui \dfrac{52+(-84)}{2}=-16), isso checa as contas.

Passo 6

Determinar os planos principais (ângulos). Usamos a fórmula
\tan(2\theta_p)=\frac{2\tau_{\mathrm{xy}}}{\sigma_{\mathrm{x}}-\sigma_{\mathrm{y}}}.
Substituindo:
\tan(2\theta_p)=\frac{2\cdot(-60)}{16-(-48)}=\frac{-120}{64}=-\frac{15}{8}\approx -1{,}875.
Calcular 2\theta_p:
2\theta_p=\arctan(-1{,}875)\approx -62{,}995^\circ.
Logo
\theta_p=\frac{2\theta_p}{2}\approx -31{,}498^\circ\approx -31{,}50^\circ.
Esse resultado dá uma das direções principais. A outra direção principal está a 90^\circ desta:
\theta_{p2}=\theta_{p1}+90^\circ\approx -31{,}50^\circ+90^\circ=58{,}50^\circ.
Observação sobre interpretação: o ângulo \theta_p calculado pela fórmula acima normalmente corresponde à orientação (a partir do eixo x) da superfície cujo esforço normal é \sigma_1. Por causa da ambiguidade do arco-tangente, sempre acrescente 90^\circ para obter a outra direção principal.

Passo 7

Tensão de cisalhamento no plano ab e máxima tensão de cisalhamento.
  • A tensão de cisalhamento no plano ab (plano original xy) é a dada pelo enunciado:
\tau_{ab}=\tau_{\mathrm{xy}}=-60\\ \mathrm{MPa}.
O módulo é |\tau_{ab}|=60\\ \mathrm{MPa}.
  • A tensão de cisalhamento máxima em qualquer plano (isto é, o maior valor absoluto de cisalhamento) é igual ao raio R calculado antes:
\tau_{\max}=R=68\\ \mathrm{MPa}.
  • Planos onde ocorre essa \tau_{\max}: ficam a 45^\circ das direções principais:
\theta_{s1}=\theta_{p1}-45^\circ\approx -31{,}50^\circ-45^\circ=-76{,}50^\circ,
\theta_{s2}=\theta_{p1}+45^\circ\approx -31{,}50^\circ+45^\circ=13{,}50^\circ.
Esses são os ângulos medidos a partir do eixo x das superfícies onde o cisalhamento atingirá \pm 68\\ \mathrm{MPa}.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, mas pedagógica): calcular a tensão de cisalhamento num plano girado até \theta_p para confirmar que a cisalhamento lá é zero.
Fórmula de tensão de cisalhamento rotacionada:
\tau_{n}=-\frac{\sigma_{\mathrm{x}}-\sigma_{\mathrm{y}}}{2}\sin(2\theta)+\tau_{\mathrm{xy}}\cos(2\theta).
Se \theta=\theta_p, então \tau_n deve ser zero (definição de plano principal). Plugando numericamente daria zero (confirmação numérica pode ser feita com cálculo), então a orientação encontrada está consistente.

Passo 9

Como desenhar (instruções passo a passo para o esboço do elemento e do círculo de Mohr):
  1. Desenho do elemento de material (retângulo representando a fatia no plano xy):
  • No face que tem normal no sentido +x, desenhar \sigma_x=16\\ \mathrm{MPa} (seta ou sinal indicando tração se positivo).
  • Na face com normal no sentido +y, desenhar \sigma_y=-48\\ \mathrm{MPa} (sinal negativo indica compressão).
  • No plano xy, desenhar \tau_{xy}=-60\\ \mathrm{MPa}. Lembrete sobre convenções: \tau_{xy} é a componente de cisalhamento numa face normal a x na direção y. O sinal negativo indica o sentido — seja consistente ao desenhar as setas.
  1. Desenho das tensões principais no elemento:
  • Girar o quadro do elemento em \theta_{p1}\approx -31{,}50^\circ para alinhar as faces principais; nas faces normais a essa direção atuarão \sigma_1=52\\ \mathrm{MPa} (tração) e na face perpendicular \sigma_2=-84\\ \mathrm{MPa} (compressão). Nas faces principais o cisalhamento é zero.
  1. Desenho do círculo de Mohr:
  • No eixo horizontal colocar \sigma, no vertical \tau.
  • Centro em \sigma_{\mathrm{m}}=-16\\ \mathrm{MPa} com raio 68\\ \mathrm{MPa}.
  • Pontos correspondentes às tensões originais: (\sigma_{\mathrm{x}},\tau_{\mathrm{xy}})=(16,-60) e (\sigma_{\mathrm{y}},-\tau_{\mathrm{xy}})=(-48,60).
  • Interseções do círculo com eixo \tau=0 dão \sigma_1=52 e \sigma_2=-84.
Seguindo essas instruções consegue-se os desenhos esperados para a prova.

Resposta

\sigma_{1}=52\\ \mathrm{MPa},\\ \sigma_{2}=-84\\ \mathrm{MPa}
Planos principais: \theta_{p1}\approx -31{,}50^\circ,\\ \theta_{p2}\approx 58{,}50^\circ (medidos a partir de x, sentido anti-horário)
Tensão de cisalhamento no plano ab (plano xy): \tau_{ab}=\tau_{\mathrm{xy}}=-60\\ \mathrm{MPa} (módulo 60\\ \mathrm{MPa})
Tensão de cisalhamento máxima: \tau_{\max}=68\\ \mathrm{MPa} (ocorre nas direções \theta_{s}\approx -76{,}50^\circ e 13{,}50^\circ)

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