Para o estado de tensões indicado, determine: as tensões normais principais, os planos principais, a máxima tensão de cisalhamento no plano ab, a tensão de cisalhamento máxima, e faça os desenhos do elemento de volume sujeito a essas tensões.
\sigma_{x}=-60 \mathrm{MPa}, \sigma_{y}=-40 \mathrm{MPa}, \tau_{x y}=35 \mathrm{MPa}

Passo 1

O enunciado fornece um estado plano de tensões com os seguintes valores (peguei estes valores do enunciado):
  • \sigma_{x}=-60\\ \mathrm{MPa}
  • \sigma_{y}=-40\\ \mathrm{MPa}
  • \tau_{xy}=35\\ \mathrm{MPa}
O que o enunciado pede:
  1. As tensões normais principais (os valores \sigma_1 e \sigma_2).
  2. Os planos principais (os ângulos das direções principais em relação ao eixo x).
  3. A máxima tensão de cisalhamento no plano ab.
  4. A tensão de cisalhamento máxima (no elemento, isto é \tau_{\max} absoluto).
  5. Fazer os desenhos (esboços) do elemento de volume sujeito a essas tensões.
Observação importante: o enunciado menciona um “plano ab”, mas não foi enviada nenhuma figura que explique a orientação desse plano ab em relação aos eixos x e y. Sem a orientação (o ângulo que o plano ab forma com o eixo x), não é possível calcular especificamente qual é a máxima tensão de cisalhamento naquele plano ab. Vou:
  • dar a fórmula geral para a tensão de cisalhamento em um plano com ângulo \theta (para você aplicar se souber o ângulo ab);
  • calcular a tensão de cisalhamento originalmente indicada no elemento (isto é \tau_{xy}=35\\ \mathrm{MPa});
  • e calcular a máxima tensão de cisalhamento do elemento (valor absoluto máximo, independente de um plano nomeado).

Passo 2

Recapitulando as fórmulas essenciais (sem pular etapas):
  • A média das tensões normais é
\bar\sigma=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}.
Aqui \bar\sigma é o centro do círculo de Mohr (explicarei o porquê nos passos seguintes).
  • A distância radial (meio eixo) do círculo de Mohr é
R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}.
  • As tensões principais são os pontos horizontais do círculo de Mohr:
\sigma_{1,2}=\bar\sigma\pm R.
Essas são as tensões normais máximas e mínimas que atuam em planos onde a tensão de cisalhamento é zero.
  • O ângulo das direções principais (ângulo \theta_p entre o eixo x e a face onde a tensão normal é \sigma_1) satisfaz
\tan 2\theta_p=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}.
Explicação física curta: nos planos principais a componente de cisalhamento é zero; essa equação resulta de igualar a expressão da tensão de cisalhamento rotacionada a zero.
  • A tensão de cisalhamento em um plano que faz ângulo \theta com o eixo x é dada por
\tau_n=-\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin 2\theta + \tau_{xy}\cos 2\theta.
(Isto é a fórmula geral que você usa se souber o ângulo do plano ab.)
  • A máxima tensão de cisalhamento absoluta no elemento (módulo máximo) é
\tau_{\max}=R=\frac{\sigma_1-\sigma_2}{2}.
Nos planos onde essa tensão age, a tensão normal é igual à média \bar\sigma. Os planos de máximo cisalhamento estão a 45^\circ das direções principais.

Passo 3

Calculemos passo a passo os números usando as fórmulas acima.
  1. Média das tensões:
\bar\sigma=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}=\frac{-60 + (-40)}{2}=-50\\ \mathrm{MPa}.
  1. Metade da diferença:
\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}=\frac{-60-(-40)}{2}=\frac{-20}{2}=-10\\ \mathrm{MPa}.
  1. Raio R:
R=\sqrt{(-10)^2 + 35^2}=\sqrt{100 + 1225}=\sqrt{1325}.
Calcule a raiz:
\sqrt{1325}\approx 36,403\\ \mathrm{MPa}.
(Arredondei para três casas decimais; aqui e adiante usarei vírgula como separador decimal.)

Passo 4

Agora as tensões principais:
\sigma_{1}=\bar\sigma + R = -50 + 36,403 = -13,597\\ \mathrm{MPa},
\sigma_{2}=\bar\sigma - R = -50 - 36,403 = -86,403\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação: \sigma_1 é a maior tensão normal (menos compressiva) e \sigma_2 é a menor (mais compressiva).

Passo 5

Determine os ângulos dos planos principais.
Usamos
\tan 2\theta_p=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}=\frac{70}{-20}=-3,5.
Logo
2\theta_p=\arctan(-3,5).
Calcule o arco-tangente (em graus):
2\theta_p\approx -74,0546^\circ.
Portanto
\theta_p\approx -37,0273^\circ.
Explicação sobre as múltiplas soluções: a tangente tem período 180^\circ, então as duas direções principais estão separadas por 90^\circ. Assim podemos listar as duas direções principais como
\theta_{p1}\approx -37,03^\circ\quad\text{(ou, equivalente, }142,97^\circ\text{)},
\theta_{p2}=\theta_{p1}+90^\circ\approx 52,97^\circ.
Interpretação prática: se você girar o elemento no sentido positivo do eixo x por -37,03^\circ chegará a um plano onde atua \sigma_1 e não atua cisalhamento.

Passo 6

Máxima tensão de cisalhamento no plano ab:
  • Como observei no Passo 1, a orientação do plano ab não foi especificada na sua mensagem. Sem saber o ângulo entre o plano ab e o eixo x, não há como calcular “a máxima tensão de cisalhamento no plano ab” especificamente. Portanto, matematicamente:
    • Não há informação suficiente para determinar a máxima tensão de cisalhamento no plano ab.
  • Para te ajudar: se o plano ab for o plano original associado ao eixo x (ou seja, se o plano ab for a face com a qual \tau_{xy} está associada), então a tensão de cisalhamento naquele plano é simplesmente
\tau_{ab}=\tau_{xy}=35\\ \mathrm{MPa}.
Mas reitero: isto só vale se o plano ab for exatamente a face x-normal do elemento. Se o plano ab tiver outro ângulo \theta_{ab}, então use a fórmula geral citada no Passo 2:
\tau_{n}(\theta_{ab})=-\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin 2\theta_{ab} + \tau_{xy}\cos 2\theta_{ab},
e para encontrar a máxima tensão de cisalhamento naquele plano ab (isto é, máxima com respeito à rotação sobre o próprio plano) teríamos que interpretar melhor o que a questão quis dizer — normalmente “máxima tensão de cisalhamento no plano X” quer dizer a máxima cisalhamento tangencial entre direções do plano, mas sem figura é ambíguo.

Passo 7

Tensão de cisalhamento máxima (do elemento, absoluta):
Já calculamos R. Assim
\tau_{\max}=R\approx 36,403\\ \mathrm{MPa}.
Observações úteis:
  • Este \tau_{\max} é ligeiramente maior que a componente \tau_{xy}=35\\ \mathrm{MPa} dada inicialmente, por causa da diferença entre \sigma_x e \sigma_y.
  • Os planos onde age \tau_{\max} estão a 45^\circ das direções principais. Assim, se \theta_{p1}=-37,03^\circ, os ângulos das faces de máximo cisalhamento são
\theta_{s1}=\theta_{p1}+45^\circ\approx 7,97^\circ,
\theta_{s2}=\theta_{s1}+90^\circ\approx 97,97^\circ.
Nesses planos a tensão normal vale \bar\sigma=-50\\ \mathrm{MPa} e a cisalhamento vale \pm \tau_{\max}.

Passo 8

Como fazer os desenhos (instruções passo a passo para esboçar à mão — siga isto na prova):
  1. Mohr’s circle:
    • No papel, trace um eixo horizontal para \sigma (tensões normais) e vertical para \tau (tensões de cisalhamento).
    • Marque o ponto correspondente à face com normal x como A=(\sigma_x,\tau_{xy})=(-60,35).
    • Marque o ponto correspondente à face com normal y como B=(\sigma_y,-\tau_{xy})=(-40,-35).
    • O centro do círculo é \bar\sigma=-50 no eixo \sigma.
    • Desenhe o círculo passando por A e B; o raio é R\approx 36,403.
    • Os pontos onde o círculo corta o eixo \sigma são \sigma_1 e \sigma_2: -13,597 e -86,403.
    • Os pontos onde o círculo atinge \tau_{\max} e -\tau_{\max} correspondem às faces de máximo cisalhamento.
  2. Elemento de forças:
    • Desenhe um pequeno quadrado representando o elemento.
    • No elemento desenhado com eixos x,y originais:
      • na face com normal +x (direita) coloque \sigma_x=-60\\ \mathrm{MPa} apontando para dentro (compressão) e um cisalhamento \tau_{xy}=35\\ \mathrm{MPa} no sentido indicado pelo sinal (use a convenção acordada na matéria).
      • na face com normal +y (topo) coloque \sigma_y=-40\\ \mathrm{MPa} apontando para dentro e cisalhamento -35\\ \mathrm{MPa} (consistente com equilíbrio).
    • Para o elemento orientado segundo as direções principais (ângulo \theta_{p1}):
      • desenhe um elemento rotacionado por \theta_{p1} em que só aparece a tensão normal \sigma_1 na uma face e \sigma_2 na face oposta; não há cisalhamento nesse elemento.
    • Para o elemento orientado segundo as direções de máximo cisalhamento (ângulo \theta_{s1}):
      • desenhe um elemento rotacionado por \theta_{s1} em que aparece \tau_{\max} numa face (e -\tau_{\max} na face oposta) e a tensão normal em cada face é \bar\sigma=-50\\ \mathrm{MPa}.
Essas instruções permitem que você desenhe as figuras pedidas na prova sem ambiguidade.

Resposta

Tensões principais: \sigma_1=-13,597\\ \mathrm{MPa},\\ \sigma_2=-86,403\\ \mathrm{MPa}
Planos principais: \theta_{p1}\approx -37,03^\circ (equivalente a 142,97^\circ) e \theta_{p2}\approx 52,97^\circ (medidos a partir do eixo x)
Máxima tensão de cisalhamento no plano ab: não é possível determinar — falta a orientação do plano ab. (Se ab for a face x, então \tau_{ab}=\tau_{xy}=35\\ \mathrm{MPa}.)
Tensão de cisalhamento máxima (do elemento): \tau_{\max}\approx 36,403\\ \mathrm{MPa}

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