Para o estado de tensões indicado, determine: as tensões normais principais, os planos principais, a máxima tensão de cisalhamento no plano ab, a tensão de cisalhamento máxima, e faça os desenhos do elemento de volume sujeito a essas tensões.
Passo 1
O enunciado fornece um estado plano de tensões com os seguintes valores (peguei estes valores do enunciado):
O que o enunciado pede:
- As tensões normais principais (os valores
e ). - Os planos principais (os ângulos das direções principais em relação ao eixo
). - A máxima tensão de cisalhamento no plano
. - A tensão de cisalhamento máxima (no elemento, isto é
absoluto). - Fazer os desenhos (esboços) do elemento de volume sujeito a essas tensões.
Observação importante: o enunciado menciona um “plano
”, mas não foi enviada nenhuma figura que explique a orientação desse plano
em relação aos eixos
e
. Sem a orientação (o ângulo que o plano
forma com o eixo
), não é possível calcular especificamente qual é a máxima tensão de cisalhamento naquele plano
. Vou:
- dar a fórmula geral para a tensão de cisalhamento em um plano com ângulo
(para você aplicar se souber o ângulo ); - calcular a tensão de cisalhamento originalmente indicada no elemento (isto é
); - e calcular a máxima tensão de cisalhamento do elemento (valor absoluto máximo, independente de um plano nomeado).
Passo 2
Recapitulando as fórmulas essenciais (sem pular etapas):
- A média das tensões normais é
Aqui
é o centro do círculo de Mohr (explicarei o porquê nos passos seguintes).
- A distância radial (meio eixo) do círculo de Mohr é
- As tensões principais são os pontos horizontais do círculo de Mohr:
Essas são as tensões normais máximas e mínimas que atuam em planos onde a tensão de cisalhamento é zero.
- O ângulo das direções principais (ângulo
entre o eixo e a face onde a tensão normal é ) satisfaz
Explicação física curta: nos planos principais a componente de cisalhamento é zero; essa equação resulta de igualar a expressão da tensão de cisalhamento rotacionada a zero.
- A tensão de cisalhamento em um plano que faz ângulo
com o eixo é dada por
(Isto é a fórmula geral que você usa se souber o ângulo do plano
.)
- A máxima tensão de cisalhamento absoluta no elemento (módulo máximo) é
Nos planos onde essa tensão age, a tensão normal é igual à média
. Os planos de máximo cisalhamento estão a
das direções principais.
Passo 3
Calculemos passo a passo os números usando as fórmulas acima.
- Média das tensões:
- Metade da diferença:
- Raio
:
Calcule a raiz:
(Arredondei para três casas decimais; aqui e adiante usarei vírgula como separador decimal.)
Passo 4
Agora as tensões principais:
Interpretação:
é a maior tensão normal (menos compressiva) e
é a menor (mais compressiva).
Passo 5
Determine os ângulos dos planos principais.
Usamos
Logo
Calcule o arco-tangente (em graus):
Portanto
Explicação sobre as múltiplas soluções: a tangente tem período
, então as duas direções principais estão separadas por
. Assim podemos listar as duas direções principais como
Interpretação prática: se você girar o elemento no sentido positivo do eixo
por
chegará a um plano onde atua
e não atua cisalhamento.
Passo 6
Máxima tensão de cisalhamento no plano
:
- Como observei no Passo 1, a orientação do plano
não foi especificada na sua mensagem. Sem saber o ângulo entre o plano e o eixo , não há como calcular “a máxima tensão de cisalhamento no plano ” especificamente. Portanto, matematicamente: - Não há informação suficiente para determinar a máxima tensão de cisalhamento no plano
.
- Não há informação suficiente para determinar a máxima tensão de cisalhamento no plano
- Para te ajudar: se o plano
for o plano original associado ao eixo (ou seja, se o plano for a face com a qual está associada), então a tensão de cisalhamento naquele plano é simplesmente
Mas reitero: isto só vale se o plano
for exatamente a face
-normal do elemento. Se o plano
tiver outro ângulo
, então use a fórmula geral citada no Passo 2:
e para encontrar a máxima tensão de cisalhamento naquele plano
(isto é, máxima com respeito à rotação sobre o próprio plano) teríamos que interpretar melhor o que a questão quis dizer — normalmente “máxima tensão de cisalhamento no plano X” quer dizer a máxima cisalhamento tangencial entre direções do plano, mas sem figura é ambíguo.
Passo 7
Tensão de cisalhamento máxima (do elemento, absoluta):
Já calculamos
. Assim
Observações úteis:
- Este
é ligeiramente maior que a componente dada inicialmente, por causa da diferença entre e . - Os planos onde age
estão a das direções principais. Assim, se , os ângulos das faces de máximo cisalhamento são
Nesses planos a tensão normal vale
e a cisalhamento vale
.
Passo 8
Como fazer os desenhos (instruções passo a passo para esboçar à mão — siga isto na prova):
-
Mohr’s circle:
- No papel, trace um eixo horizontal para
(tensões normais) e vertical para (tensões de cisalhamento). - Marque o ponto correspondente à face com normal
como . - Marque o ponto correspondente à face com normal
como . - O centro do círculo é
no eixo . - Desenhe o círculo passando por
e ; o raio é . - Os pontos onde o círculo corta o eixo
são e : e . - Os pontos onde o círculo atinge
e correspondem às faces de máximo cisalhamento.
- No papel, trace um eixo horizontal para
-
Elemento de forças:
- Desenhe um pequeno quadrado representando o elemento.
- No elemento desenhado com eixos
originais: - na face com normal
(direita) coloque apontando para dentro (compressão) e um cisalhamento no sentido indicado pelo sinal (use a convenção acordada na matéria). - na face com normal
(topo) coloque apontando para dentro e cisalhamento (consistente com equilíbrio).
- na face com normal
- Para o elemento orientado segundo as direções principais (ângulo
): - desenhe um elemento rotacionado por
em que só aparece a tensão normal na uma face e na face oposta; não há cisalhamento nesse elemento.
- desenhe um elemento rotacionado por
- Para o elemento orientado segundo as direções de máximo cisalhamento (ângulo
): - desenhe um elemento rotacionado por
em que aparece numa face (e na face oposta) e a tensão normal em cada face é .
- desenhe um elemento rotacionado por
Essas instruções permitem que você desenhe as figuras pedidas na prova sem ambiguidade.
Resposta
Tensões principais:
Planos principais: (equivalente a
) e
(medidos a partir do eixo
)
Máxima tensão de cisalhamento no plano : não é possível determinar — falta a orientação do plano
. (Se
for a face
, então
.)
Tensão de cisalhamento máxima (do elemento):
Planos principais:
Máxima tensão de cisalhamento no plano
Tensão de cisalhamento máxima (do elemento):