Precisamos estender esse conjunto a uma base de M_{2\times2}, ou seja, encontrar uma quarta matriz que, junto com I,X,J, forme um conjunto de quatro vetores linearmente independentes.
Passo 2
Como \dim M_{2\times2}=4, toda base tem exatamente 4 elementos. Já temos 3 matrizes que são linearmente independentes (é fácil ver que nenhuma delas é combinação linear das outras). Para formar uma base, basta escolher uma matriz que não esteja no span\{I,X,J\}.
Passo 3
Uma escolha natural é a matriz diagonal traceless
D=\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & -1\end{pmatrix}.
Vamos ver que \{I,X,J,D\} é linearmente independente.
Das duas últimas igualdades segue \beta=0 e \gamma=0. Das duas primeiras segue \alpha=0 e \delta=0. Logo a combinação só é trivial, o que demonstra independência linear.
Passo 5
Como temos 4 matrizes linearmente independentes em um espaço de dimensão 4, elas formam uma base de M_{2\times2}.
Resposta
Uma base de M_{2\times2} que estende o conjunto dado é