Estenda \left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{rr}0 & -1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right]\right\} a uma base de M_{22}.

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial M_{2\times2} (matrizes 2\times2) de dimensão 4 e a família de três matrizes
I = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix},\quad X = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix},\quad J = \begin{pmatrix}0 & -1\\\ 1 & 0\end{pmatrix}.
Precisamos estender esse conjunto a uma base de M_{2\times2}, ou seja, encontrar uma quarta matriz que, junto com I,X,J, forme um conjunto de quatro vetores linearmente independentes.

Passo 2

Como \dim M_{2\times2}=4, toda base tem exatamente 4 elementos. Já temos 3 matrizes que são linearmente independentes (é fácil ver que nenhuma delas é combinação linear das outras). Para formar uma base, basta escolher uma matriz que não esteja no span \{I,X,J\}.

Passo 3

Uma escolha natural é a matriz diagonal traceless
D=\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & -1\end{pmatrix}.
Vamos ver que \{I,X,J,D\} é linearmente independente.

Passo 4

Considere a combinação linear nula
\alpha\,I+\beta\,X+\gamma\,J+\delta\,D = 0_{2\times2}.
Escrevendo componente a componente, temos
\alpha+\delta = 0,\quad \beta-\gamma = 0,\quad \beta+\gamma = 0,\quad \alpha-\delta = 0.
Das duas últimas igualdades segue \beta=0 e \gamma=0. Das duas primeiras segue \alpha=0 e \delta=0. Logo a combinação só é trivial, o que demonstra independência linear.

Passo 5

Como temos 4 matrizes linearmente independentes em um espaço de dimensão 4, elas formam uma base de M_{2\times2}.

Resposta

Uma base de M_{2\times2} que estende o conjunto dado é
\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0 & -1\\\ 1 & 0\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & -1\end{pmatrix}.

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